Question : Exercice
Déterminez si une boîte cylindrique de volume \(750\,\text{cm}^3\) permet de ranger soixante DVD superposés, sachant que chaque DVD a un diamètre de \(11\,\text{cm}\) et une épaisseur de \(1,5\,\text{mm}\).
La boîte de 750 cm³ ne peut pas contenir 60 DVD, car le volume total des DVD est d’environ 855,7 cm³, ce qui dépasse la capacité de la boîte.
Nous allons vérifier étape par étape si une boîte cylindrique d’un volume de \[ 750\,\text{cm}^3 \] peut contenir soixante DVD superposés, sachant que chaque DVD a un diamètre de \[ 11\,\text{cm} \] et une épaisseur de \[ 1,5\,\text{mm}. \]
L’épaisseur d’un DVD est donnée en millimètres. Pour être cohérents dans nos calculs, nous la convertissons en centimètres :
\[ 1,5\,\text{mm} = \frac{1,5}{10}\,\text{cm} = 0,15\,\text{cm}. \]
Chaque DVD est un disque. Le volume d’un disque (cylindre de très faible hauteur) se calcule en multipliant l’aire de la base par son épaisseur.
Pour un disque de diamètre \(11\,\text{cm}\), le rayon \(r\) est :
\[ r = \frac{11}{2} = 5,5\,\text{cm}. \]
L’aire \(A\) de la base du disque est alors :
\[ A = \pi r^2 = \pi (5,5)^2 = \pi \times 30,25. \]
Le volume \(V_{\text{DVD}}\) d’un DVD est :
\[ V_{\text{DVD}} = \text{Aire} \times \text{épaisseur} = \pi (5,5)^2 \times 0,15 = \pi \times 30,25 \times 0,15. \]
Calculons le produit numérique :
\[ 30,25 \times 0,15 = 4,5375. \]
Ainsi,
\[ V_{\text{DVD}} \approx 4,5375\,\pi\,\text{cm}^3. \]
Pour donner une estimation numérique (en utilisant \(\pi \approx 3,14\)) :
\[ 4,5375\,\pi \approx 4,5375 \times 3,14 \approx 14,26\,\text{cm}^3. \]
Pour soixante DVD, le volume total nécessaire \(V_{\text{total}}\) est :
\[ V_{\text{total}} = 60 \times V_{\text{DVD}} = 60 \times 4,5375\,\pi\,\text{cm}^3. \]
En calculant le produit :
\[ 60 \times 4,5375 = 272,25, \]
donc
\[ V_{\text{total}} = 272,25\,\pi\,\text{cm}^3. \]
En valeur approchée :
\[ 272,25\,\pi \approx 272,25 \times 3,14 \approx 855,7\,\text{cm}^3. \]
On nous indique que la boîte cylindrique a un volume de :
\[ 750\,\text{cm}^3. \]
Comparons :
Puisque
\[ 855,7\,\text{cm}^3 > 750\,\text{cm}^3, \]
le volume occupé par les DVD dépasse celui de la boîte.
La boîte cylindrique de \(750\,\text{cm}^3\) ne permet pas de ranger soixante DVD superposés, car le volume total nécessaire pour les DVD, environ \(855,7\,\text{cm}^3\), est supérieur au volume de la boîte.