Question : Exercice
Considérez deux feuilles de papier rectangulaires mesurant \(15\,\text{cm} \times 18\,\text{cm}\). Découpez chacune de ces feuilles pour former un cylindre circulaire droit sans couvercle ni fond et sans chevauchement, de manière à obtenir deux cylindres différents.
Pour une feuille de 15×18 cm, si on utilise 15 cm pour la circonférence et 18 cm pour la hauteur, le volume est V₁ = 4050/(4π) cm³, alors qu’en inversant (18 cm pour la circonférence, 15 cm pour la hauteur) on obtient V₂ = 1215/π cm³, c’est-à-dire V₂ > V₁. De plus, pour tout rectangle d’aire 270 cm² (par exemple 10×27 cm), la méthode de découpe change le volume du cylindre obtenu.
Voici une correction détaillée de l’exercice.
On dispose de deux feuilles de papier rectangulaires de
dimensions
\[
15\,\text{cm} \times 18\,\text{cm}.
\] On va découper chaque feuille pour en faire un cylindre
circulaire droit (sans couvercle ni fond) en utilisant le rectangle pour
réaliser la surface latérale du cylindre. On a ainsi le choix de deux
découpes différentes sur une même feuille, selon que :
Choix :
Utiliser le côté de \(15\,\text{cm}\)
pour former la circonférence de la base et le côté de \(18\,\text{cm}\) pour la hauteur.
Calcul du rayon de la base :
La relation entre la circonférence \(C\) et le rayon \(r\) est donnée par
\[
C = 2\pi r.
\] Ici, \(C = 15\,\text{cm}\).
On a donc
\[
r_1 = \frac{15}{2\pi}.
\]
Calcul du volume du cylindre :
La formule du volume \(V\) d’un
cylindre est
\[
V = \pi r^2 h.
\] En remplaçant \(r = r_1\) et
\(h = 18\,\text{cm}\), on obtient
\[
V_1 = \pi \left(\frac{15}{2\pi}\right)^2 \times 18.
\] Détaillons le calcul : \[
V_1 = \pi \times \frac{225}{4\pi^2} \times 18 = \frac{225 \times
18}{4\pi} = \frac{4050}{4\pi}.
\]
Choix :
Utiliser le côté de \(18\,\text{cm}\)
pour former la circonférence et le côté de \(15\,\text{cm}\) pour la hauteur.
Calcul du rayon de la base :
Ici, \(C = 18\,\text{cm}\). On a
donc
\[
r_2 = \frac{18}{2\pi} = \frac{9}{\pi}.
\]
Calcul du volume du cylindre :
En appliquant la formule du volume avec \(h =
15\,\text{cm}\), on trouve
\[
V_2 = \pi \left(\frac{9}{\pi}\right)^2 \times 15 = \pi \times
\frac{81}{\pi^2} \times 15 = \frac{81 \times 15}{\pi} =
\frac{1215}{\pi}.
\]
Pour comparer \(V_1\) et \(V_2\), écrivons \(V_1\) sous la forme d’une fraction sur \(\pi\) :
\[ V_1 = \frac{4050}{4\pi}. \]
Pour faciliter la comparaison, mettons sur le même dénominateur :
On voit que \[
4860 > 4050,
\] donc
\[
V_2 > V_1.
\]
Conclusion de la partie 1 :
Les cylindres obtenus à partir d’une même feuille de \(15 \times 18\,\text{cm}\) ont des volumes
différents.
L’aire d’une feuille de \(15 \times
18\,\text{cm}\) est
\[
A = 15 \times 18 = 270\,\text{cm}^2.
\]
On peut trouver d’autres rectangles de dimensions différentes mais dont l’aire reste \(270\,\text{cm}^2\). Par exemple :
Prenons le rectangle de dimensions \(10\,\text{cm} \times 27\,\text{cm}\). Comme précédemment, on peut découper ce rectangle de deux manières pour former un cylindre.
Choix :
Considérer \(10\,\text{cm}\) comme la
longueur qui forme la circonférence de la base, et \(27\,\text{cm}\) comme la hauteur.
Calcul du rayon de la base :
La circonférence est \(10\,\text{cm}\),
donc
\[
r_A = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}.
\]
Calcul du volume :
Avec \(h = 27\,\text{cm}\), \[
V_A = \pi r_A^2 h = \pi \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 \times 27 = \pi
\times \frac{25}{\pi^2} \times 27 = \frac{25 \times 27}{\pi} =
\frac{675}{\pi}\, \text{cm}^3.
\]
Choix :
Considérer \(27\,\text{cm}\) comme la
circonférence de la base, et \(10\,\text{cm}\) comme la hauteur.
Calcul du rayon de la base :
Ici,
\[
r_B = \frac{27}{2\pi}.
\]
Calcul du volume :
Avec \(h = 10\,\text{cm}\), \[
V_B = \pi \left(\frac{27}{2\pi}\right)^2 \times 10 = \pi \times
\frac{729}{4\pi^2} \times 10 = \frac{7290}{4\pi}\, \text{cm}^3.
\]
Ces deux configurations donnent, encore une fois, des volumes différents pour le cylindre obtenu à partir d’un même rectangle, montrant que l’orientation de découpe influence le volume final.
Pour les feuilles de \(15\,\text{cm} \times
18\,\text{cm}\)
Les cylindres obtenus par deux méthodes différentes n’ont pas le même
volume :
\[
V_1 = \frac{4050}{4\pi} \quad \text{et} \quad V_2 = \frac{1215}{\pi}.
\] En effet, \(V_2\) est plus
grand que \(V_1\).
Pour d’autres rectangles de même aire
Par exemple, les rectangles de dimensions \(10\,\text{cm} \times 27\,\text{cm}\) ou
\(9\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}\)
ont tous une aire de \(270\,\text{cm}^2\).
Formation et calcul du volume des cylindres à partir d’un rectangle de \(10\,\text{cm} \times 27\,\text{cm}\)
Ce développement montre clairement que, même pour une même aire de départ, la façon dont on choisit d’orienter le découpage du rectangle pour former le cylindre change son volume.