Une cabane est constituée d’un cube de côté \(4\,\mathrm{m}\) surmonté d’un prisme droit à base triangulaire. Le volume total de la cabane est de \(96\,\mathrm{m}^3\). Calculez sa hauteur totale.
La hauteur totale de la cabane est de 8 m.
Nous allons déterminer la hauteur totale de la cabane qui se compose d’un cube et d’un prisme droit à base triangulaire.
Le cube a un côté de \(4\,\mathrm{m}\). Son volume \(V_{\text{cube}}\) s’obtient grâce à la formule : \[ V_{\text{cube}} = \text{côté}^3 = 4^3 = 64\,\mathrm{m}^3. \]
Le volume total de la cabane est de \(96\,\mathrm{m}^3\). Or, ce volume total est constitué du volume du cube et du volume du prisme. Ainsi, \[ V_{\text{prisme}} = V_{\text{total}} - V_{\text{cube}} = 96 - 64 = 32\,\mathrm{m}^3. \]
On considère que le prisme repose sur la face supérieure du cube. Ainsi, la base du prisme, qui est un triangle, admet une base égale au côté du cube soit \(4\,\mathrm{m}\).
La formule du volume \(V_{\text{prisme}}\) pour un prisme est : \[ V_{\text{prisme}} = \mathcal{A}_{\text{triangle}} \times L, \] où \(\mathcal{A}_{\text{triangle}}\) est l’aire de la base triangulaire et \(L\) est la longueur (la profondeur) du prisme.
Puisque la cabane est symétrique, la profondeur du prisme est la même que celle du cube, soit \(4\,\mathrm{m}\).
L’aire d’un triangle se calcule par : \[ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur du triangle}. \] Soit \(h\) la hauteur (la hauteur du triangle, c’est-à-dire la dimension verticale du toit).
Comme la base est de \(4\,\mathrm{m}\), on a : \[ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \times 4 \times h = 2h. \]
Le volume du prisme devient alors : \[ V_{\text{prisme}} = (2h) \times 4 = 8h. \]
Nous avons trouvé que : \[ 8h = 32. \] Pour trouver \(h\), divisons par 8 : \[ h = \frac{32}{8} = 4\,\mathrm{m}. \]
Ceci signifie que la hauteur (ou l’« élévation » du toit) mesure \(4\,\mathrm{m}\).
La cabane se compose du cube (hauteur \(4\,\mathrm{m}\)) et du prisme dont la hauteur verticale est égale à \(4\,\mathrm{m}\) (hauteur du triangle). Ainsi, la hauteur totale \(H\) de la cabane est : \[ H = 4\,\mathrm{m} + 4\,\mathrm{m} = 8\,\mathrm{m}. \]
La hauteur totale de la cabane est donc de : \[ \boxed{8\,\mathrm{m}}. \]