Exercice :
Soit un triangle ayant une hauteur de \(8\) cm. Si l’on augmente sa hauteur de \(4\) cm, son aire augmente de \(24\,\text{cm}^2\).
Déterminez la mesure de la base de ce triangle.
La base du triangle est de 12 cm.
Voici la correction complète de l’exercice :
Énoncé :
On considère un triangle de hauteur \(8\,\text{cm}\). Si l’on augmente sa hauteur de \(4\,\text{cm}\), l’aire du triangle augmente de \(24\,\text{cm}^2\).
Nous devons déterminer la mesure de la base du triangle.
Étape 1 : Expression de l’aire initiale du triangle
La formule de l’aire d’un triangle est : \[
\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}
\] Soit \(b\) la base du triangle.
Pour le triangle initial, avec une hauteur de \(8\,\text{cm}\), l’aire est : \[
A_1 = \frac{1}{2} \times b \times 8 = 4b
\]
Étape 2 : Calcul de l’aire après l’augmentation de la hauteur
Lorsque la hauteur est augmentée de \(4\,\text{cm}\), la nouvelle hauteur devient : \[
8\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}
\] L’aire du triangle avec la nouvelle hauteur est alors : \[
A_2 = \frac{1}{2} \times b \times 12 = 6b
\]
Étape 3 : Détermination de la base à partir de l’augmentation de l’aire
Il est donné que l’aire augmente de \(24\,\text{cm}^2\), ce qui se traduit par la relation suivante : \[
A_2 - A_1 = 24\,\text{cm}^2
\] En remplaçant \(A_2\) et \(A_1\) par leurs expressions en fonction de \(b\), nous obtenons : \[
6b - 4b = 24
\] Simplifions l’équation : \[
2b = 24
\] Pour trouver \(b\), nous divisons par 2 : \[
b = \frac{24}{2} = 12\,\text{cm}
\]
Conclusion :
La mesure de la base du triangle est \(\boxed{12\,\text{cm}}\).