Exercice :
Un triangle possède une base de \(12\,\text{cm}\) et une hauteur de \(5\,\text{cm}\). De combien faut-il augmenter la hauteur pour que l’aire du triangle augmente de \(24\,\text{cm}^2\) ?
Il faut augmenter la hauteur de 4 cm.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
On vous donne un triangle ayant une base de \(12\,\text{cm}\) et une hauteur de \(5\,\text{cm}\). On souhaite augmenter la hauteur afin que l’aire du triangle augmente de \(24\,\text{cm}^2\). Il s’agit de déterminer de combien il faut augmenter la hauteur.
L’aire \(A\) d’un triangle se calcule avec la formule :
\[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
En remplaçant par les valeurs données :
\[ A_0 = \frac{1}{2} \times 12\,\text{cm} \times 5\,\text{cm} = 30\,\text{cm}^2 \]
On veut que l’aire du triangle augmente de \(24\,\text{cm}^2\). Ainsi, l’aire du triangle après augmentation sera :
\[ A_{\text{nouveau}} = A_0 + 24\,\text{cm}^2 = 30\,\text{cm}^2 + 24\,\text{cm}^2 = 54\,\text{cm}^2 \]
Soit \(h_{\text{nouveau}}\) la nouvelle hauteur à trouver. En utilisant la formule de l’aire du triangle pour le nouveau triangle, nous avons :
\[ A_{\text{nouveau}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times h_{\text{nouveau}} \]
Remplaçons par les valeurs connues :
\[ 54 = \frac{1}{2} \times 12 \times h_{\text{nouveau}} \]
Calculons \(\frac{1}{2} \times 12\) :
\[ \frac{1}{2} \times 12 = 6 \]
L’équation devient :
\[ 54 = 6 \times h_{\text{nouveau}} \]
Pour trouver \(h_{\text{nouveau}}\), divisons les deux côtés de l’équation par 6 :
\[ h_{\text{nouveau}} = \frac{54}{6} = 9\,\text{cm} \]
La hauteur initiale était de \(5\,\text{cm}\) et la nouvelle hauteur est de \(9\,\text{cm}\). L’augmentation de la hauteur est :
\[ \Delta h = h_{\text{nouveau}} - h_{\text{initiale}} = 9\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 4\,\text{cm} \]
Pour augmenter l’aire du triangle de \(24\,\text{cm}^2\), il faut augmenter la hauteur de 4 cm.