Exercice
On considère deux triangles de même aire. Le premier triangle a une
base de \(80 \, \text{cm}\) et une
hauteur de \(90 \, \text{cm}\). Le
deuxième triangle a une base de \(1 \,
\text{m}\) (soit \(100 \,
\text{cm}\)).
Calculer la hauteur du deuxième triangle.
La hauteur du deuxième triangle est de 72 cm.
Nous avons deux triangles de même aire. Cela signifie que l’aire calculée pour le premier triangle est égale à celle du deuxième triangle. Nous allons utiliser la formule de l’aire d’un triangle :
\[ \text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \]
Le premier triangle a une base de \(80 \, \text{cm}\) et une hauteur de \(90 \, \text{cm}\). On remplace dans la formule :
\[ \text{Aire}_1 = \frac{80 \times 90}{2} \]
Calculons le numérateur :
\[ 80 \times 90 = 7200 \]
Ensuite, on divise par 2 :
\[ \text{Aire}_1 = \frac{7200}{2} = 3600 \, \text{cm}^2 \]
Le deuxième triangle possède une base de \(1 \, \text{m}\), ce qui équivaut à \(100 \, \text{cm}\) (puisque \(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\)). On sait que l’aire doit être la même que celle du premier triangle, soit \(3600 \, \text{cm}^2\). On note \(h_2\) la hauteur du deuxième triangle. Alors :
\[ \text{Aire}_2 = \frac{100 \times h_2}{2} \]
Égalons l’aire du deuxième triangle à \(3600 \, \text{cm}^2\) :
\[ \frac{100 \times h_2}{2} = 3600 \]
Pour simplifier, multiplions par 2 des deux côtés de l’équation :
\[ 100 \times h_2 = 7200 \]
Pour isoler \(h_2\), divisons par 100 :
\[ h_2 = \frac{7200}{100} = 72 \, \text{cm} \]
La hauteur du deuxième triangle est donc de :
\[ \boxed{72 \, \text{cm}} \]
Cette solution montre comment, en partant de l’égalité des aires et en appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on déduit la hauteur manquante du deuxième triangle.