Question : Soient les points \[ A(3, 8),\quad B(15, 2),\quad C(10, 12) \] formant un premier triangle, et les points \[ D(2, 2),\quad E(4, 8),\quad F(14, 6) \] formant un second triangle.
Que peut-on dire de chacun de ces triangles ?
Triangle ABC : scalène et aigu.
Triangle DEF : scalène et obtus.
Nous allons étudier chacun des triangles en calculant les longueurs de leurs côtés afin de déterminer leurs caractéristiques (triangle scalène, rectangle, aigu ou obtus).
Les points sont
\[
A(3,8),\quad B(15,2),\quad C(10,12).
\]
On utilise la formule de la distance entre deux points :
\[
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
\] Ici, \[
AB = \sqrt{(15-3)^2+(2-8)^2} = \sqrt{12^2+(-6)^2} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.
\]
\[ BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} = \sqrt{(10-15)^2+(12-2)^2} = \sqrt{(-5)^2+10^2} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}. \]
\[ AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} = \sqrt{(10-3)^2+(12-8)^2} = \sqrt{7^2+4^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}. \]
Les trois longueurs sont : \[ AB = 6\sqrt{5},\quad BC = 5\sqrt{5},\quad AC = \sqrt{65}. \] Les trois mesures sont différentes, donc le triangle ABC est un triangle scalène.
Pour connaître la nature des angles, on peut utiliser la relation de Pythagore généralisée. Pour le triangle, on identifie le côté le plus long (ici \(AB\)) qui est opposé à l’angle en \(C\).
On calcule : \[ AB^2 = (6\sqrt{5})^2 = 180. \]
La somme des carrés des deux autres côtés est : \[ AC^2+BC^2 = (\sqrt{65})^2 + (5\sqrt{5})^2 = 65 + 125 = 190. \]
On compare :
\[
AB^2 < AC^2+BC^2 \quad \Longrightarrow \quad 180 < 190.
\] Cela montre que l’angle opposé au côté \(AB\) (l’angle en \(C\)) est aigu. Ainsi, tous les angles du triangle sont aigus et le triangle est de type aigu.
Les points sont
\[
D(2,2),\quad E(4,8),\quad F(14,6).
\]
\[ DE = \sqrt{(x_E-x_D)^2+(y_E-y_D)^2} = \sqrt{(4-2)^2+(8-2)^2} = \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}. \]
\[ EF = \sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2} = \sqrt{(14-4)^2+(6-8)^2} = \sqrt{10^2+(-2)^2} = \sqrt{100+4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}. \]
\[ DF = \sqrt{(x_F-x_D)^2+(y_F-y_D)^2} = \sqrt{(14-2)^2+(6-2)^2} = \sqrt{12^2+4^2} = \sqrt{144+16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}. \]
Les trois mesures sont : \[ DE = 2\sqrt{10},\quad EF = 2\sqrt{26},\quad DF = 4\sqrt{10}. \] Elles sont toutes différentes. Le triangle DEF est donc également un triangle scalène.
Identifions le côté le plus long :
Ici, \(DF = 4\sqrt{10}\). Calculons son carré : \[
DF^2 = (4\sqrt{10})^2 = 16 \times 10 = 160.
\] Les sommes des carrés des deux autres côtés sont : \[
DE^2 + EF^2 = (2\sqrt{10})^2 + (2\sqrt{26})^2 = 4 \times 10 + 4 \times 26 = 40+104 = 144.
\]
On compare : \[ DF^2 > DE^2+EF^2 \quad \Longrightarrow \quad 160 > 144. \] Cela montre que l’angle opposé au côté \(DF\) (l’angle en \(E\)) est obtus. Ainsi, le triangle DEF est de type obtus.
Ainsi, chacun des triangles est scalène (les trois côtés ont des longueurs différentes) et le triangle ABC est aigu tandis que le triangle DEF est obtus.