Exercice 8

Parmi les triangles suivants, déterminer ceux qui sont rectangles. Pour chaque triangle rectangle, indiquez quel côté correspond à l’hypoténuse.

1. Soit un triangle avec
   \[ AB = 12\ \text{cm}, \quad BC = 16\ \text{cm}, \quad AC = 20\ \text{cm}. \]

2. Soit un triangle avec
   \[ EF = 5\ \text{m}, \quad FG = 12\ \text{m}, \quad EG = 13\ \text{m}. \]

3. Soit un triangle avec
   \[ XY = 10\ \text{mm}, \quad YZ = 6\ \text{mm}, \quad XZ = \sqrt{136}\ \text{mm}. \]

Réponse

1. Le triangle de côtés 12 cm, 16 cm et 20 cm est rectangle, avec AC (20 cm) comme hypoténuse.
   
2. Le triangle de côtés 5 m, 12 m et 13 m est rectangle, avec EG (13 m) comme hypoténuse.
   
3. Le triangle de côtés 10 mm, 6 mm et √136 mm est rectangle, avec XZ (√136 mm) comme hypoténuse.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes :

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Rappel de la propriété

Pour savoir si un triangle est rectangle, on utilise le théorème de Pythagore qui affirme que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit et le plus long du triangle) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Soit un triangle avec des côtés de longueurs \(a\), \(b\) et \(c\) (avec \(c\) le côté le plus long). Si l’on a :

\[ a^2 + b^2 = c^2, \]

alors le triangle est rectangle et \(c\) est l’hypoténuse.

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Partie a)

Les longueurs données sont :

\[ AB = 12\ \text{cm}, \quad BC = 16\ \text{cm}, \quad AC = 20\ \text{cm}. \]

1. Identifier le côté le plus long :

   Le côté le plus long est \(AC = 20\ \text{cm}\). Il est donc candidat pour être l’hypoténuse.

2. Vérification avec le théorème de Pythagore :

   Calculons les carrés des côtés : \[ AB^2 = 12^2 = 144,\quad BC^2 = 16^2 = 256,\quad AC^2 = 20^2 = 400. \]

   Additionnons les carrés de \(AB\) et \(BC\) : \[ 144 + 256 = 400. \]

   Comme \(400 = AC^2\), la relation est vérifiée.

3. Conclusion pour la partie a) :

   Le triangle est rectangle et l’hypoténuse est le côté \(AC\).

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Partie b)

Les longueurs données sont :

\[ EF = 5\ \text{m}, \quad FG = 12\ \text{m}, \quad EG = 13\ \text{m}. \]

1. Identifier le côté le plus long :

   Le côté le plus long est \(EG = 13\ \text{m}\). On le considère comme l’hypoténuse.

2. Vérification avec le théorème de Pythagore :

   Calculons les carrés des côtés : \[ EF^2 = 5^2 = 25,\quad FG^2 = 12^2 = 144,\quad EG^2 = 13^2 = 169. \]

   Vérifions : \[ 25 + 144 = 169. \]

   La relation est donc bien respectée.

3. Conclusion pour la partie b) :

   Le triangle est rectangle et l’hypoténuse est le côté \(EG\).

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Partie c)

Les longueurs données sont :

\[ XY = 10\ \text{mm}, \quad YZ = 6\ \text{mm}, \quad XZ = \sqrt{136}\ \text{mm}. \]

1. Identifier le côté le plus long :

   Pour trouver le côté le plus long, sachez que : \[ \sqrt{136} \text{mm} \approx 11{,}66\ \text{mm}, \] ce qui est plus grand que \(10\ \text{mm}\) et \(6\ \text{mm}\). Ainsi, le côté \(XZ\) est l’hypoténuse potentielle.

2. Vérification avec le théorème de Pythagore :

   Calculons les carrés des côtés : \[ XY^2 = 10^2 = 100,\quad YZ^2 = 6^2 = 36,\quad XZ^2 = (\sqrt{136})^2 = 136. \]

   Additionnons les carrés de \(XY\) et \(YZ\) : \[ 100 + 36 = 136. \]

   La condition est vérifiée car \(136 = XZ^2\).

3. Conclusion pour la partie c) :

   Le triangle est rectangle et l’hypoténuse est le côté \(XZ\).

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Récapitulatif

• a) Le triangle avec \(AB = 12\ \text{cm}\), \(BC = 16\ \text{cm}\) et \(AC = 20\ \text{cm}\) est rectangle. L’hypoténuse est \(AC\).
• b) Le triangle avec \(EF = 5\ \text{m}\), \(FG = 12\ \text{m}\) et \(EG = 13\ \text{m}\) est rectangle. L’hypoténuse est \(EG\).
• c) Le triangle avec \(XY = 10\ \text{mm}\), \(YZ = 6\ \text{mm}\) et \(XZ = \sqrt{136}\ \text{mm}\) est rectangle. L’hypoténuse est \(XZ\).

Chaque vérification se fait en comparant la somme des carrés des deux plus petits côtés avec le carré du plus grand côté. Lorsque l’égalité est obtenue, le triangle est reconnu comme rectangle.