Dans un triangle rectangle, Lucas affirme qu’en construisant uniquement la bissectrice de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse, il est possible de déterminer le centre du cercle inscrit.
De son côté, Emma prétend qu’en traçant uniquement la médiane issue de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse, on parvient à identifier le centre du cercle circonscrit.
Examinez la validité de ces affirmations.
Réponse courte : La méthode d’Emma est correcte car la médiane issue de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse se rencontrent en le milieu de l’hypoténuse, qui est le centre du cercle circonscrit. En revanche, la méthode de Lucas est fausse, l’intersection de la bissectrice de l’angle droit et de la médiatrice de l’hypoténuse n’étant pas l’incentre.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Énoncé récapitulatif
On se donne un triangle rectangle. Deux affirmations sont proposées :
Lucas affirme qu’en construisant uniquement la bissectrice de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse, on peut trouver le centre du cercle inscrit (incentre).
Emma affirme qu’en traçant uniquement la médiane issue de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse, on obtient le centre du cercle circonscrit (circoncentre).
Nous allons étudier chacune de ces affirmations une à une.
Rappel de définitions :
- Le centre du cercle inscrit (incentre) se trouve à l’intersection des trois bissectrices des angles du triangle.
- La bissectrice de l’angle droit divise l’angle droit en deux angles égaux.
- La médiatrice de l’hypoténuse est la droite perpendiculaire passant par le milieu de l’hypoténuse.
Construction proposée par Lucas :
Il propose de tracer la bissectrice de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse. Le point d’intersection de ces deux droites est alors présenté comme le centre du cercle inscrit.
Vérification par un exemple :
Considérons un triangle rectangle dont l’angle droit se situe en \(A\). Pour simplifier, plaçons-le dans le plan de façon suivante :
- \(A = (0,0)\) (angle droit),
- \(B = (b,0)\),
- \(C = (0,a)\).
Le côté \(BC\) est l’hypoténuse qui va de \(B = (b,0)\) à \(C = (0,a)\).
Bissectrice de l’angle \(A\) :
Comme l’angle \(A\) est au point \((0,0)\) et que ses côtés sont sur les axes \(x\) et \(y\), sa bissectrice est la droite
\[
y = x.
\]
Médiatrice de l’hypoténuse \(BC\) :
Recherche du point d’intersection :
Nous cherchons le point \(I = (x, y)\) commun aux deux droites, sachant que \(y = x\). Remplaçons dans l’équation de la médiatrice :
\[ x - \frac{a}{2} = \frac{b}{a}\left(x - \frac{b}{2}\right). \]
Multiplions ensuite par \(a\) pour simplifier :
\[ a\,x - \frac{a^2}{2} = b\left(x - \frac{b}{2}\right) = b\,x - \frac{b^2}{2}. \]
Réorganisons l’équation en isolant les termes en \(x\) : \[ a\,x - b\,x = \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad (a-b)x = \frac{a^2 - b^2}{2}. \]
Or, \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), ce qui permet d’annuler \(a-b\) (en supposant que \(a \neq b\), autrement on a un cas particulier) :
\[ x = \frac{(a-b)(a+b)}{2(a-b)} = \frac{a+b}{2}. \]
Ainsi, le point d’intersection est :
\[ I = \left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right). \]
Comparaison avec l’incentre :
Dans un triangle, l’incentre est le point équidistant des trois côtés du triangle. Pour le triangle rectangle choisi, si on calcule l’incentre par les méthodes usuelles, ses coordonnées sont de la forme \((r, r)\) où \(r\) (le rayon inscrit) est donné par :
\[ r = \frac{a+b-c}{2} \quad \text{avec } \quad c=\sqrt{a^2+b^2}. \]
Le point \(\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)\) n’est en général pas égal à \((r, r)\) car \(\frac{a+b}{2}\) diffère de \(\frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}\) sauf dans des cas particuliers (cas bien précis et particuliers du triangle).
Conclusion pour Lucas :
La droite issue de la bissectrice de l’angle droit et celle de la médiatrice de l’hypoténuse se coupent en un point qui n’est pas le centre du cercle inscrit dans le triangle rectangle de manière générale.
L’affirmation de Lucas est donc incorrecte.
Rappel de définitions :
- Le centre du cercle circonscrit (circoncentre) d’un triangle se trouve à l’intersection des trois médiatrices des côtés. - Dans un triangle rectangle, une propriété importante est que le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Construction proposée par Emma :
Elle propose de tracer la médiane issue de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse.
Examinons ces constructions dans le triangle rectangle défini précédemment :
La médiane issue de l’angle droit \(A\) :
Cette médiane part du sommet \(A = (0,0)\) et se dirige vers le milieu du côté opposé, c’est-à-dire le milieu de l’hypoténuse \(BC\). Le milieu \(M\) de \(BC\) est donné par : \[
M = \left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right).
\] Ainsi, la médiane est la droite passant par \((0,0)\) et \(\left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right)\).
La médiatrice de l’hypoténuse :
Comme précédemment, c’est la droite perpendiculaire passant par le même point \(M = \left(\frac{b}{2}, \frac{a}{2}\right)\).
Observation importante :
Le point d’intersection de cette médiane et de la médiatrice de l’hypoténuse est exactement le point \(M\) car la médiane issue de l’angle droit va déjà jusqu’au milieu de l’hypoténuse et la médiatrice passe aussi par ce milieu.
Lien avec le cercle circonscrit :
Dans un triangle rectangle, la propriété classique est que le centre du cercle circonscrit est précisément le milieu de l’hypoténuse. Ainsi, le point \(M = \left(\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)\) est le centre du cercle circonscrit.
Conclusion pour Emma :
La construction proposée par Emma permet bien de localiser le centre du cercle circonscrit, car elle redécouvre le milieu de l’hypoténuse.
L’affirmation d’Emma est donc correcte.
Lucas : Son affirmation est fausse. La bissectrice de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse ne permettent pas de déterminer le centre du cercle inscrit dans un triangle rectangle de manière générale.
Emma : Son affirmation est vraie. La médiane issue de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse se rejoignent en le milieu de l’hypoténuse, qui est le centre du cercle circonscrit dans un triangle rectangle.
Ainsi, seuls les arguments d’Emma mènent à une construction correcte pour obtenir le centre du cercle circonscrit, tandis que la méthode proposée par Lucas ne donne pas le centre du cercle inscrit.