Soit un triangle \(ABC\). La bissectrice de l’angle \(\angle CAB\) intersecte le segment \(BC\) en \(D\). Ensuite, la bissectrice de l’angle \(\angle ADC\) coupe le segment \(AC\) en \(E\).
Calculer et justifier la mesure de l’angle \(\angle DEC\), sachant que \[ \angle CAB = 58^\circ \quad \text{et} \quad \angle ABC = 92^\circ. \]
La mesure de l’angle DEC est de 89,5° (soit 179/2°).
Voici la démarche complète pour résoudre l’exercice.
Données du problème :
On considère le triangle \(ABC\) tel que
\[
\angle CAB = 58^\circ \quad \text{et} \quad \angle ABC = 92^\circ.
\] On trace la bissectrice de l’angle \(\angle CAB\) qui coupe le segment \(BC\) en \(D\). Ainsi, \(AD\) est la bissectrice de \(\angle CAB\) et divise cet angle en deux parties égales. Puis, on trace la bissectrice de l’angle \(\angle ADC\) qui coupe le segment \(AC\) en \(E\). Notre but est de calculer la mesure de \(\angle DEC\).
Étape 1 : Déterminer tous les angles du triangle \(ABC\).
Dans un triangle, la somme des angles internes vaut \(180^\circ\). On connaît déjà : - \(\angle A = 58^\circ\), - \(\angle B = 92^\circ\).
On calcule donc \(\angle C\) de la manière suivante : \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (58^\circ + 92^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ. \]
Étape 2 : Utiliser la bissectrice de \(\angle CAB\).
La droite \(AD\) est la bissectrice de \(\angle CAB\). Par définition, elle divise \(\angle CAB\) en deux angles égaux, donc : \[ \angle BAD = \angle DAC = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ. \]
Étape 3 : Analyser le triangle \(ADC\).
On considère maintenant le triangle \(ADC\) (avec \(D\) sur \(BC\) et \(C\) commun au triangle \(ABC\)) :
La somme des angles dans le triangle \(ADC\) vaut \(180^\circ\). On peut donc calculer l’angle en \(D\) :
\[
\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle ACD) = 180^\circ - (29^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ.
\]
Étape 4 : Utiliser la bissectrice de \(\angle ADC\).
La droite \(DE\) est la bissectrice de l’angle \(\angle ADC\) dans le triangle \(ADC\). Elle divise \(\angle ADC = 121^\circ\) en deux angles égaux : \[ \angle ADE = \angle EDC = \frac{121^\circ}{2} = 60,5^\circ. \]
Étape 5 : Calcul de l’angle \(\angle DEC\).
Pour trouver l’angle \(\angle DEC\), considérons le triangle \(DEC\) dont les sommets sont \(D\), \(E\) et \(C\).
Angle en \(D\) dans le triangle \(DEC\) :
Le côté \(DE\) est la bissectrice de \(\angle ADC\). Dans le triangle \(ADC\) nous avons calculé que \[
\angle EDC = 60,5^\circ.
\] Cet angle reste inchangé dans le triangle \(DEC\).
Angle en \(C\) dans le triangle \(DEC\) :
Le point \(E\) se trouve sur la droite \(AC\). Ainsi, dans le triangle \(DEC\), l’angle en \(C\) est exactement \(\angle DCE\) qui correspond à l’angle \(\angle ACD\) du triangle \(ADC\) (puisque les droites \(AC\) et \(CE\) sont confondues). On a : \[
\angle DCE = 30^\circ.
\]
Angle en \(E\) dans le triangle \(DEC\) :
Puisque la somme des angles d’un triangle est \(180^\circ\), on a : \[
\angle DEC = 180^\circ - \left(\angle EDC + \angle DCE\right) = 180^\circ - \left(60,5^\circ + 30^\circ\right).
\] Effectuons le calcul : \[
\angle DEC = 180^\circ - 90,5^\circ = 89,5^\circ.
\] Pour une écriture sous forme de fraction, on peut remarquer que : \[
60,5^\circ = \frac{121}{2}^\circ \quad \text{et} \quad 30^\circ = \frac{60}{2}^\circ.
\] Ainsi, \[
\angle DEC = 180^\circ - \frac{121 + 60}{2}^\circ = 180^\circ - \frac{181}{2}^\circ = \frac{360 - 181}{2}^\circ = \frac{179}{2}^\circ.
\]
Conclusion :
La mesure de l’angle \(\angle DEC\) est donc \[ \boxed{\frac{179}{2}^\circ \quad \text{(soit } 89,5^\circ\text{)}}. \]
Cette solution s’appuie sur les propriétés de la somme des angles dans un triangle et sur les propriétés des bissectrices dans un triangle.