Exercice
Soit un triangle \(DEF\) tel que \[ \widehat{EDF} = 50^\circ \quad \text{et} \quad \widehat{DEF} = 82^\circ. \] La bissectrice de \(\widehat{EDF}\) coupe la droite \(EF\) en \(G\). La perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\) coupe \(DE\) en \(H\). Les droites \(DG\) et \(FH\) se rencontrent en \(I\).
Calculer, en justifiant, la mesure de l’angle \(\widehat{DIF}\).
L’angle DIF vaut 115°.
Nous allons détailler la démarche pour montrer que, dans ce problème,
on trouve
\[
\widehat{DIF} = 115^\circ.
\]
Nous considérons le triangle \(DEF\)
où
\[
\angle EDF=50^\circ \quad \text{et} \quad \angle DEF=82^\circ.
\]
Puisque la somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), on a
\[
\angle EFD = 180^\circ - 50^\circ - 82^\circ = 48^\circ.
\]
Bissectrice en \(D\)
:
La bissectrice de \(\angle EDF\) divise
ce dernier angle de \(50^\circ\) en
deux angles égaux. Ainsi,
\[
\angle EDG = \angle GDF = 25^\circ,
\] où \(G\) est le point
d’intersection de cette bissectrice avec la droite \(EF\).
Perpendiculaire à \(DE\)
passant par \(F\) :
La droite perpendiculaire à \(DE\)
passant par \(F\) coupe la droite \(DE\) en \(H\).
Point d’intersection \(I\) :
On définit \(I\) comme le point
d’intersection de la droite \(DG\) (qui
est la bissectrice de \(\angle EDF\))
et de la droite \(FH\) (la
perpendiculaire à \(DE\) passant par
\(F\)).
Pour clarifier la construction, nous pouvons placer le triangle dans un repère :
Choix des positions :
Positionnons les points de la façon suivante :
Positionner \(F\)
:
Comme \(\angle EDF=50^\circ\), on peut
choisir \(DF\) comme le rayon faisant
un angle de \(50^\circ\) avec
l’horizontale. Ainsi,
\[
F=\bigl(DF\cos50^\circ,\, DF\sin50^\circ\bigr).
\] En utilisant la loi des sinus dans le triangle \(DEF\) (avec \(DE=1\)) : \[
\frac{DE}{\sin\angle EFD}=\frac{DF}{\sin82^\circ},
\] soit \[
DF=\frac{\sin82^\circ}{\sin48^\circ}\approx 1.332.
\] Avec \(\cos50^\circ\approx
0.6428\) et \(\sin50^\circ\approx
0.7660\), on trouve
\[
F\approx (1.332\times0.6428,\; 1.332\times0.7660) \approx (0.856,\;
1.020).
\]
Déterminer \(G\)
:
La bissectrice en \(D\) a pour
direction un angle de \(25^\circ\) par
rapport à l’horizontale. Sa droite est donc
\[
y = \tan25^\circ\, x,
\] avec \(\tan25^\circ\approx
0.4663\).
La droite \(EF\) passe par \(E=(1,0)\) et \(F\approx(0.856,1.020)\). Son coefficient
directeur est
\[
m_{EF}=\frac{1.020-0}{0.856-1}\approx \frac{1.020}{-0.144}\approx
-7.083,
\] et son équation est
\[
y = -7.083(x-1).
\] Pour trouver \(G\)
(intersection des deux droites), on résout : \[
\tan25^\circ\, x = -7.083 (x-1).
\] Soit : \[
0.4663\, x = -7.083x + 7.083.
\] On regroupe : \[
0.4663x + 7.083x = 7.083 \quad \Longrightarrow \quad 7.5493x = 7.083,
\] donc \[
x\approx \frac{7.083}{7.5493}\approx 0.9379.
\] Alors, \[
y\approx 0.4663\times0.9379\approx 0.4373.
\] Ainsi,
\[
G\approx (0.9379,\; 0.4373).
\]
Déterminer \(H\)
:
Puisque \(H\) est l’intersection de la
perpendiculaire à \(DE\) passant par
\(F\) avec \(DE\) (la droite horizontale \(y=0\)), on a
\[
H=(x_F,0)=(0.856,0).
\]
Trouver \(I\)
:
Le point \(I\) est l’intersection de la
droite \(DG\) et de la droite \(FH\).
Nous devons déterminer la mesure de \(\angle DIF\) qui est l’angle en \(I\) délimité par les droites \(ID\) et \(IF\).
Vecteurs considérés :
Application du produit scalaire :
La formule du produit scalaire permet de trouver l’angle \(\theta = \angle DIF\) : \[
\cos\theta =
\frac{\overrightarrow{ID}\cdot\overrightarrow{IF}}{\|\overrightarrow{ID}\|\,\|\overrightarrow{IF}\|}.
\] On calcule d’abord le produit scalaire : \[
\overrightarrow{ID}\cdot\overrightarrow{IF} = (-0.856)\times 0 +
(-0.399)\times 0.621 \approx -0.2478.
\] On trouve ensuite les normes : \[
\|\overrightarrow{ID}\| = \sqrt{(-0.856)^2+(-0.399)^2} \approx
\sqrt{0.732+0.159}\approx \sqrt{0.891}\approx 0.944,
\] et \[
\|\overrightarrow{IF}\| = \sqrt{0^2 + 0.621^2} = 0.621.
\] Ainsi, \[
\cos\theta \approx \frac{-0.2478}{0.944\times0.621} \approx
\frac{-0.2478}{0.586} \approx -0.423.
\]
Détermination de l’angle :
L’angle dont le cosinus est \(-0.423\)
est environ
\[
\theta \approx \arccos(-0.423) \approx 115^\circ.
\]
Nous avons donc montré, en utilisant une approche passant par une
affectation judicieuse de coordonnées et un calcul du produit scalaire,
que
\[
\boxed{\widehat{DIF} = 115^\circ.}
\]
Cette démarche utilise la somme des angles dans un triangle, la bissectrice, et la relation entre vecteurs pour trouver la mesure de l’angle recherché.