Exercice 4

Exercice

Soit un triangle \(DEF\) tel que \[ \widehat{EDF} = 50^\circ \quad \text{et} \quad \widehat{DEF} = 82^\circ. \] La bissectrice de \(\widehat{EDF}\) coupe la droite \(EF\) en \(G\). La perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\) coupe \(DE\) en \(H\). Les droites \(DG\) et \(FH\) se rencontrent en \(I\).

Calculer, en justifiant, la mesure de l’angle \(\widehat{DIF}\).

Réponse

L’angle DIF vaut 115°.

Corrigé détaillé

Nous allons détailler la démarche pour montrer que, dans ce problème, on trouve
\[ \widehat{DIF} = 115^\circ. \]

Nous considérons le triangle \(DEF\) où
\[ \angle EDF=50^\circ \quad \text{et} \quad \angle DEF=82^\circ. \]

1. Calculer le troisième angle du triangle

Puisque la somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), on a
\[ \angle EFD = 180^\circ - 50^\circ - 82^\circ = 48^\circ. \]

2. Construction des points intermédiaires

Bissectrice en \(D\) :
La bissectrice de \(\angle EDF\) divise ce dernier angle de \(50^\circ\) en deux angles égaux. Ainsi,
\[ \angle EDG = \angle GDF = 25^\circ, \] où \(G\) est le point d’intersection de cette bissectrice avec la droite \(EF\).
Perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\) :
La droite perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\) coupe la droite \(DE\) en \(H\).
Point d’intersection \(I\) :
On définit \(I\) comme le point d’intersection de la droite \(DG\) (qui est la bissectrice de \(\angle EDF\)) et de la droite \(FH\) (la perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\)).

3. Une approche par coordonnées

Pour clarifier la construction, nous pouvons placer le triangle dans un repère :

Choix des positions :
Positionnons les points de la façon suivante :
- Posons \(D=(0,0)\).
- Plaçons \(E\) sur l’axe des abscisses, par exemple \(E=(1,0)\).
- Le segment \(DE\) est donc horizontal.
Positionner \(F\) :
Comme \(\angle EDF=50^\circ\), on peut choisir \(DF\) comme le rayon faisant un angle de \(50^\circ\) avec l’horizontale. Ainsi,
\[ F=\bigl(DF\cos50^\circ,\, DF\sin50^\circ\bigr). \] En utilisant la loi des sinus dans le triangle \(DEF\) (avec \(DE=1\)) : \[ \frac{DE}{\sin\angle EFD}=\frac{DF}{\sin82^\circ}, \] soit \[ DF=\frac{\sin82^\circ}{\sin48^\circ}\approx 1.332. \] Avec \(\cos50^\circ\approx 0.6428\) et \(\sin50^\circ\approx 0.7660\), on trouve
\[ F\approx (1.332\times0.6428,\; 1.332\times0.7660) \approx (0.856,\; 1.020). \]
Déterminer \(G\) :
La bissectrice en \(D\) a pour direction un angle de \(25^\circ\) par rapport à l’horizontale. Sa droite est donc
\[ y = \tan25^\circ\, x, \] avec \(\tan25^\circ\approx 0.4663\).
La droite \(EF\) passe par \(E=(1,0)\) et \(F\approx(0.856,1.020)\). Son coefficient directeur est
\[ m_{EF}=\frac{1.020-0}{0.856-1}\approx \frac{1.020}{-0.144}\approx -7.083, \] et son équation est
\[ y = -7.083(x-1). \] Pour trouver \(G\) (intersection des deux droites), on résout : \[ \tan25^\circ\, x = -7.083 (x-1). \] Soit : \[ 0.4663\, x = -7.083x + 7.083. \] On regroupe : \[ 0.4663x + 7.083x = 7.083 \quad \Longrightarrow \quad 7.5493x = 7.083, \] donc \[ x\approx \frac{7.083}{7.5493}\approx 0.9379. \] Alors, \[ y\approx 0.4663\times0.9379\approx 0.4373. \] Ainsi,
\[ G\approx (0.9379,\; 0.4373). \]
Déterminer \(H\) :
Puisque \(H\) est l’intersection de la perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\) avec \(DE\) (la droite horizontale \(y=0\)), on a
\[ H=(x_F,0)=(0.856,0). \]
Trouver \(I\) :
Le point \(I\) est l’intersection de la droite \(DG\) et de la droite \(FH\).
- La droite \(DG\) passe par \(D=(0,0)\) et \(G\approx (0.9379,0.4373)\) et a pour équation
  \[ y=0.4663\, x. \]
- La droite \(FH\) est verticale passant par \(F\) et \(H\) (puisque \(F\) et \(H\) ont la même abscisse), donc
  \[ x=0.856. \] Leur intersection est donc
  \[ I=(0.856,\; 0.4663\times 0.856)\approx (0.856,\; 0.399). \]

4. Calcul de l’angle \(\widehat{DIF}\)

Nous devons déterminer la mesure de \(\angle DIF\) qui est l’angle en \(I\) délimité par les droites \(ID\) et \(IF\).

Vecteurs considérés :
- Le vecteur \(\overrightarrow{ID} = D - I = (0-0.856,\; 0-0.399) = (-0.856,\; -0.399)\).
- Le vecteur \(\overrightarrow{IF} = F - I = (0.856-0.856,\; 1.020-0.399) = (0,\; 0.621)\).
Application du produit scalaire :
La formule du produit scalaire permet de trouver l’angle \(\theta = \angle DIF\) : \[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{ID}\cdot\overrightarrow{IF}}{\|\overrightarrow{ID}\|\,\|\overrightarrow{IF}\|}. \] On calcule d’abord le produit scalaire : \[ \overrightarrow{ID}\cdot\overrightarrow{IF} = (-0.856)\times 0 + (-0.399)\times 0.621 \approx -0.2478. \] On trouve ensuite les normes : \[ \|\overrightarrow{ID}\| = \sqrt{(-0.856)^2+(-0.399)^2} \approx \sqrt{0.732+0.159}\approx \sqrt{0.891}\approx 0.944, \] et \[ \|\overrightarrow{IF}\| = \sqrt{0^2 + 0.621^2} = 0.621. \] Ainsi, \[ \cos\theta \approx \frac{-0.2478}{0.944\times0.621} \approx \frac{-0.2478}{0.586} \approx -0.423. \]
Détermination de l’angle :
L’angle dont le cosinus est \(-0.423\) est environ
\[ \theta \approx \arccos(-0.423) \approx 115^\circ. \]

5. Conclusion

Nous avons donc montré, en utilisant une approche passant par une affectation judicieuse de coordonnées et un calcul du produit scalaire, que
\[ \boxed{\widehat{DIF} = 115^\circ.} \]

Cette démarche utilise la somme des angles dans un triangle, la bissectrice, et la relation entre vecteurs pour trouver la mesure de l’angle recherché.