Représente, sur un dessin, un triangle \(MNO\) rectangle en \(M\) tel que l’angle \(\widehat{MNO}\) mesure \(40^\circ\). Trace ensuite les bissectrices des angles \(\widehat{MNO}\) et \(\widehat{NOM}\) qui se rencontrent au point \(I\).
Détermine la mesure de l’angle \(\widehat{MIO}\).
La mesure de l’angle MIO est de 110°.
Nous considérons le triangle \(MNO\) rectangle en \(M\) et avec \(\widehat{MNO}=40^\circ\). Suivons les étapes :
Dans le triangle \(MNO\) :
Puisque la somme des angles d’un triangle est \(180^\circ\), l’angle en \(O\) se calcule ainsi : \[ \widehat{NOM} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ. \]
Nous avons donc : - \(\widehat{M} = 90^\circ\) - \(\widehat{N} = 40^\circ\) - \(\widehat{O} = 50^\circ\)
On trace :
Ces deux bissectrices se coupent en un point \(I\).
Remarque : Le point d’intersection des bissectrices internes d’un triangle est appelé l’incentre.
Il possède la propriété d’être équidistant des trois côtés du triangle.
Pour tout triangle \(ABC\) de centre \(I\) (incentre), la mesure de l’angle formé par les bissectrices issues de \(B\) et \(C\) est donnée par : \[ \widehat{BIC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat{A}, \] où \(\widehat{A}\) est l’angle situé en \(A\) (le sommet opposé à l’angle \(\widehat{BIC}\)).
Dans notre triangle, nous assignons : - \(A \equiv N\), - \(B \equiv M\), - \(C \equiv O\).
Ainsi, l’angle \(\widehat{MIO}\) est formé par les bissectrices issues de \(N\) (à \(M\) via \(I\)) et \(O\). Il est opposé à l’angle \(\widehat{N}=40^\circ\).
D’après la propriété, nous avons : \[ \widehat{MIO} = 90^\circ + \frac{1}{2} \widehat{N}. \]
Substituons \(\widehat{N}=40^\circ\) dans la formule : \[ \widehat{MIO} = 90^\circ + \frac{1}{2}\times 40^\circ = 90^\circ + 20^\circ = 110^\circ. \]
La mesure de l’angle \(\widehat{MIO}\) est donc \(\boxed{110^\circ}\).