Question : Soit un triangle aiguangle \(ABC\). Déterminez la position du point \(Q\) sur le côté \(AC\) tel que \(Q\) soit équidistant des côtés \(AB\) et \(BC\).
Q est le point d’intersection de AC avec la bissectrice interne de l’angle ABC.
Nous allons montrer que le point \(Q\) est précisément le point d’intersection entre le côté \(AC\) et la bissectrice de l’angle \(\angle ABC\). Voici la démarche détaillée :
On considère un triangle aigu \(ABC\) et on souhaite trouver un point \(Q\) sur le côté \(AC\) tel que la distance perpendiculaire de \(Q\) à la droite \(AB\) soit égale à la distance perpendiculaire de \(Q\) à la droite \(BC\).
Rappel important :
Pour deux droites (ici \(AB\) et \(BC\)), l’ensemble des points qui sont à égale distance des deux droites est constitué par les bissectrices de l’angle formé par ces deux droites. Ainsi, tous les points appartenant à une bissectrice de \(\angle ABC\) vérifient la propriété d’être équidistants de \(AB\) et \(BC\).
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles de même mesure. Dans notre cas, la bissectrice interne de \(\angle ABC\) est l’ensemble des points équidistants des côtés \(AB\) et \(BC\).
Puisque \(Q\) doit être sur le côté \(AC\) ET satisfaire la condition d’équidistance par rapport à \(AB\) et \(BC\), il doit appartenir à l’intersection de \(AC\) et de la bissectrice interne de \(\angle ABC\).
On peut schématiser la situation : - Le triangle \(ABC\) est tracé. - On trace la bissectrice interne de \(\angle ABC\). - L’intersection de cette bissectrice avec \(AC\) donne le point \(Q\).
Ainsi, en vertu des propriétés de la bissectrice, le point \(Q\) qui se trouve sur \(AC\) et qui est équidistant des droites \(AB\) et \(BC\) est :
\[ \boxed{Q = AC \cap \text{bissectrice interne de } \angle ABC} \]
La solution du problème consiste à reconnaître que la condition d’équidistance par rapport à \(AB\) et \(BC\) définit une bissectrice. Puisque \(Q\) doit se situer sur \(AC\), il se trouve au point d’intersection de \(AC\) avec cette bissectrice interne.
Cette démarche permet de déterminer la position précise de \(Q\) dans le triangle aigu \(ABC\).