Exercice 1

On considère cinq baguettes de longueurs \(4\), \(5\), \(7\), \(8\) et \(10\) cm. En en choisissant trois, on obtient un triangle si la somme des longueurs des deux plus petites dépasse la longueur de la plus grande.

  1. Combien de triangles différents peut-on former avec ces baguettes ?

  2. Construisez précisément le triangle ayant le plus petit périmètre et celui ayant le plus grand périmètre.

  3. Construisez le centre de gravité des deux triangles obtenus au point 2.

Réponse

On peut former 9 triangles différents. Le triangle de plus petit périmètre est celui de côtés 4, 5 et 7 cm (périmètre 16 cm) et celui de plus grand périmètre est celui de côtés 7, 8 et 10 cm (périmètre 25 cm). Pour chacun, le centre de gravité se construit en traçant deux médianes (relier un sommet au milieu du côté opposé), leur intersection donnant le centroïde.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.

Rappel de l’énoncé

On dispose de cinq baguettes de longueurs
\[ 4,\; 5,\; 7,\; 8,\; 10 \text{ cm} \]
En choisissant trois baguettes, on peut construire un triangle si la somme des longueurs des deux plus petites dépasse celle de la plus grande. Nous devons :

  1. Déterminer le nombre de triangles différents que l’on peut former.
  2. Construire précisément le triangle de plus petit périmètre et celui de plus grand périmètre.
  3. Construire le centre de gravité (centroïde) de ces deux triangles.

1. Détermination du nombre de triangles différents

a) Énumération des sous-ensembles

Avec cinq baguettes, le nombre de combinaisons possible en choisissant trois baguettes est
\[ \binom{5}{3} = 10. \] Les ensembles de longueurs possibles sont : - \((4,5,7)\) - \((4,5,8)\) - \((4,5,10)\) - \((4,7,8)\) - \((4,7,10)\) - \((4,8,10)\) - \((5,7,8)\) - \((5,7,10)\) - \((5,8,10)\) - \((7,8,10)\)

b) Vérification de la condition pour former un triangle

Pour que trois segments de longueurs \(a\), \(b\) et \(c\) (avec \(a \leq b \leq c\)) forment un triangle, il faut que : \[ a + b > c. \]

Vérifions chacun :

  1. \((4,5,7)\) : \(4 + 5 = 9 > 7\) → triangle valide.
  2. \((4,5,8)\) : \(4 + 5 = 9 > 8\) → triangle valide.
  3. \((4,5,10)\) : \(4 + 5 = 9 \nleq 10\) → triangle impossible.
  4. \((4,7,8)\) : \(4 + 7 = 11 > 8\) → triangle valide.
  5. \((4,7,10)\) : \(4 + 7 = 11 > 10\) → triangle valide.
  6. \((4,8,10)\) : \(4 + 8 = 12 > 10\) → triangle valide.
  7. \((5,7,8)\) : \(5 + 7 = 12 > 8\) → triangle valide.
  8. \((5,7,10)\) : \(5 + 7 = 12 > 10\) → triangle valide.
  9. \((5,8,10)\) : \(5 + 8 = 13 > 10\) → triangle valide.
  10. \((7,8,10)\) : \(7 + 8 = 15 > 10\) → triangle valide.

c) Conclusion

Tous les ensembles sont valides sauf \((4,5,10)\).
On obtient donc 9 triangles différents.

2. Construction des triangles de plus petit et de plus grand périmètre

Pour construire les triangles, nous choisissons d’abord ceux qui ont le périmètre minimum et maximum.

a) Calcul des périmètres

Pour chaque triangle, on calcule la somme de ses côtés.

Le triangle de plus petit périmètre est donc \((4,5,7)\) avec \(16\) cm.

Le triangle de plus grand périmètre est \((7,8,10)\) avec \(25\) cm.

b) Procédure de construction géométrique

Nous donnons ci-après deux constructions avec règle et compas.

Construction du triangle \((4,5,7)\)
  1. Tracer le segment de base
    • Dessiner le segment \([AB]\) de longueur \(7\) cm.
  2. Construire le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm
    • À l’aide du compas, placer la pointe sur \(A\) et régler une ouverture de \(4\) cm.
    • Tracer le cercle.
  3. Construire le cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm
    • Placer la pointe du compas sur \(B\) et régler une ouverture de \(5\) cm.
    • Tracer le cercle.
  4. Détermination du point \(C\)
    • Le point d’intersection des deux cercles (choisir l’intersection située dans la demi-plan souhaité) est le point \(C\).
  5. Achèvement du triangle
    • Relier \(C\) à \(A\) et \(C\) à \(B\) avec la règle pour obtenir le triangle \(ABC\) de côtés \(7\) cm, \(4\) cm, et \(5\) cm.
Construction du triangle \((7,8,10)\)
  1. Tracer le segment de base
    • Dessiner le segment \([A'B']\) de longueur \(10\) cm.
  2. Construire le cercle de centre \(A'\) et de rayon \(7\) cm
    • À l’aide du compas, placer la pointe sur \(A'\) et régler une ouverture de \(7\) cm.
    • Tracer le cercle.
  3. Construire le cercle de centre \(B'\) et de rayon \(8\) cm
    • Placer la pointe sur \(B'\) et régler une ouverture de \(8\) cm.
    • Tracer le cercle.
  4. Détermination du point \(C'\)
    • Le point d’intersection des deux cercles est noté \(C'\).
  5. Achèvement du triangle
    • Relier \(C'\) à \(A'\) et \(C'\) à \(B'\) pour obtenir le triangle \(A'B'C'\) de côtés \(10\) cm, \(7\) cm, et \(8\) cm.

3. Construction du centre de gravité (centroïde) des deux triangles

Le centre de gravité d’un triangle se trouve à l’intersection de ses trois médianes. Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.

Pour chaque triangle, la construction se fait de la manière suivante :

  1. Trouver le milieu d’un côté.
    • Par exemple, pour le triangle \(ABC\) (de côtés \(4,5,7\)), prenez le côté \([AB]\) et déterminez son milieu \(M\) en réalisant l’archet de cercle depuis \(A\) et \(B\) (outil classique de la construction géométrique).
  2. Tracer la médiane correspondante.
    • Relier le point \(C\) au milieu \(M\) de \([AB]\).
  3. Répéter l’opération pour un second côté.
    • Par exemple, trouver le milieu \(N\) du côté \([AC]\) et tracer la médiane reliant \(N\) au sommet \(B\).
  4. Identifier le point d’intersection.
    • Le point où les deux médianes se coupent est le centre de gravité, noté \(G\).

Répétez exactement la même procédure pour le triangle \(A'B'C'\) (de côtés \(7,8,10\)). Vous obtiendrez ainsi le centre de gravité \(G'\) du triangle.

Récapitulatif des réponses

  1. Nombre de triangles différents :
    Il est possible de former 9 triangles différents.

  2. Triangles extrêmes en périmètre :

    • Le triangle de plus petit périmètre est celui de côtés \(4\), \(5\) et \(7\) cm (périmètre \(= 16\) cm).
    • Le triangle de plus grand périmètre est celui de côtés \(7\), \(8\) et \(10\) cm (périmètre \(= 25\) cm).

  3. Construction du centre de gravité :
    Pour chacun des deux triangles, on construit le milieu de deux côtés, on trace les médianes correspondantes, et leur intersection est le centre de gravité du triangle.

Cette correction propose une démarche complète adaptée à un niveau de collège en détaillant chaque étape de la résolution et de la construction géométrique.

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