Exercices corrigés sur les triangles - 10e

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Exercice 1

On considère cinq baguettes de longueurs \(4\), \(5\), \(7\), \(8\) et \(10\) cm. En en choisissant trois, on obtient un triangle si la somme des longueurs des deux plus petites dépasse la longueur de la plus grande.

  1. Combien de triangles différents peut-on former avec ces baguettes ?

  2. Construisez précisément le triangle ayant le plus petit périmètre et celui ayant le plus grand périmètre.

  3. Construisez le centre de gravité des deux triangles obtenus au point 2.

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Exercice 2

Question : Soit un triangle aiguangle \(ABC\). Déterminez la position du point \(Q\) sur le côté \(AC\) tel que \(Q\) soit équidistant des côtés \(AB\) et \(BC\).

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Exercice 3

Représente, sur un dessin, un triangle \(MNO\) rectangle en \(M\) tel que l’angle \(\widehat{MNO}\) mesure \(40^\circ\). Trace ensuite les bissectrices des angles \(\widehat{MNO}\) et \(\widehat{NOM}\) qui se rencontrent au point \(I\).

Détermine la mesure de l’angle \(\widehat{MIO}\).

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Exercice 4

Exercice

Soit un triangle \(DEF\) tel que \[ \widehat{EDF} = 50^\circ \quad \text{et} \quad \widehat{DEF} = 82^\circ. \] La bissectrice de \(\widehat{EDF}\) coupe la droite \(EF\) en \(G\). La perpendiculaire à \(DE\) passant par \(F\) coupe \(DE\) en \(H\). Les droites \(DG\) et \(FH\) se rencontrent en \(I\).

Calculer, en justifiant, la mesure de l’angle \(\widehat{DIF}\).

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Exercice 5

Soit un triangle \(ABC\). La bissectrice de l’angle \(\angle CAB\) intersecte le segment \(BC\) en \(D\). Ensuite, la bissectrice de l’angle \(\angle ADC\) coupe le segment \(AC\) en \(E\).

Calculer et justifier la mesure de l’angle \(\angle DEC\), sachant que \[ \angle CAB = 58^\circ \quad \text{et} \quad \angle ABC = 92^\circ. \]

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Exercice 6

Dans un triangle rectangle, Lucas affirme qu’en construisant uniquement la bissectrice de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse, il est possible de déterminer le centre du cercle inscrit.

De son côté, Emma prétend qu’en traçant uniquement la médiane issue de l’angle droit et la médiatrice de l’hypoténuse, on parvient à identifier le centre du cercle circonscrit.

Examinez la validité de ces affirmations.

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Exercice 7

Soit un triangle rectangle dans lequel l’un des angles aigus vaut deux fois l’autre. Déterminez la mesure de chacun des angles du triangle.

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Exercice 8

Parmi les triangles suivants, déterminer ceux qui sont rectangles. Pour chaque triangle rectangle, indiquez quel côté correspond à l’hypoténuse.

  1. Soit un triangle avec
    \[ AB = 12\ \text{cm}, \quad BC = 16\ \text{cm}, \quad AC = 20\ \text{cm}. \]

  2. Soit un triangle avec
    \[ EF = 5\ \text{m}, \quad FG = 12\ \text{m}, \quad EG = 13\ \text{m}. \]

  3. Soit un triangle avec
    \[ XY = 10\ \text{mm}, \quad YZ = 6\ \text{mm}, \quad XZ = \sqrt{136}\ \text{mm}. \]

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Exercice 9

Question : Soient les points \[ A(3, 8),\quad B(15, 2),\quad C(10, 12) \] formant un premier triangle, et les points \[ D(2, 2),\quad E(4, 8),\quad F(14, 6) \] formant un second triangle.

Que peut-on dire de chacun de ces triangles ?

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Exercice 10

Exercice

On considère deux triangles de même aire. Le premier triangle a une base de \(80 \, \text{cm}\) et une hauteur de \(90 \, \text{cm}\). Le deuxième triangle a une base de \(1 \, \text{m}\) (soit \(100 \, \text{cm}\)).
Calculer la hauteur du deuxième triangle.

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Exercice 11

Exercice :

Un triangle possède une base de \(12\,\text{cm}\) et une hauteur de \(5\,\text{cm}\). De combien faut-il augmenter la hauteur pour que l’aire du triangle augmente de \(24\,\text{cm}^2\) ?

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Exercice 12

Exercice :

Soit un triangle ayant une hauteur de \(8\) cm. Si l’on augmente sa hauteur de \(4\) cm, son aire augmente de \(24\,\text{cm}^2\).

Déterminez la mesure de la base de ce triangle.

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