Exercice
Construisez le développement d’un cylindre ayant une hauteur de \(6\,\mathrm{cm}\) et un diamètre de \(4\,\mathrm{cm}\).
Le développement comprendra un rectangle représentant la surface
latérale et deux disques pour les bases.
Le développement du cylindre se compose d’un rectangle de dimensions 4π cm (longueur) par 6 cm (hauteur) et de deux disques de rayon 2 cm chacun.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On vous demande de construire le développement d’un cylindre dont : - la hauteur est \(h = 6\,\mathrm{cm}\), - le diamètre de la base est \(d = 4\,\mathrm{cm}\).
Le développement se compose de : 1. Un rectangle représentant la surface latérale. 2. Deux disques (cercles) correspondant aux bases du cylindre.
Le rectangle qui représente la surface latérale du cylindre a : - une hauteur égale à la hauteur du cylindre, soit \(h = 6\,\mathrm{cm}\), - une longueur qui correspond à la circonférence de la base.
La circonférence \(C\) d’un cercle se calcule par la formule : \[ C = \pi \times d \] En remplaçant \(d = 4\,\mathrm{cm}\), nous obtenons : \[ C = \pi \times 4 = 4\pi\,\mathrm{cm} \]
Ainsi, le rectangle a pour dimensions : - Longueur : \(4\pi\,\mathrm{cm}\) - Largeur (ou hauteur) : \(6\,\mathrm{cm}\)
Chaque base du cylindre est un disque circulaire.
L’énoncé donne le diamètre \(d = 4\,\mathrm{cm}\). On trouve facilement le rayon \(r\) par la relation : \[ r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\mathrm{cm} \]
Chaque disque se dessine donc avec un rayon de \(2\,\mathrm{cm}\).
Le développement complet du cylindre est constitué des éléments suivants :
Pour visualiser le développement, vous pouvez dessiner : - Un grand rectangle avec une longueur de \(4\pi\,\mathrm{cm}\) et une hauteur de \(6\,\mathrm{cm}\) ; - Deux cercles ou disques distincts, chacun ayant \(2\,\mathrm{cm}\) pour rayon, placés à part du rectangle.
Vous pouvez aussi calculer l’aire totale du cylindre en sommant l’aire latérale et les aires des deux bases si l’exercice le demande.
Aire latérale : \[ A_{\text{latérale}} = \text{longueur} \times \text{hauteur} = 4\pi \times 6 = 24\pi\,\mathrm{cm}^2 \]
Aire d’une base : \[ A_{\text{base}} = \pi r^2 = \pi \times (2)^2 = 4\pi\,\mathrm{cm}^2 \]
Aire totale des deux bases : \[ 2 \times 4\pi = 8\pi\,\mathrm{cm}^2 \]
Aire totale du cylindre : \[ A_{\text{total}} = 24\pi + 8\pi = 32\pi\,\mathrm{cm}^2 \]
Ce calcul peut être utile pour vérifier vos constructions si l’exercice l’indique, mais la question principale ici est la construction du développement (le rectangle et les deux disques).
Pour construire le développement du cylindre : - Rectangle (surface latérale) : un rectangle de dimensions \(4\pi\,\mathrm{cm}\) (longueur) et \(6\,\mathrm{cm}\) (hauteur). - Deux disques (bases) : chaque disque ayant un rayon de \(2\,\mathrm{cm}\).
Ainsi, vous obtenez l’ensemble des surfaces qui constituent le cylindre lorsqu’on les “déplie”.