Exercice :
Calculer chacune des expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
Voici une correction détaillée pour chaque expression.
Étape 1 : On reconnaît que \(8\) et \(125\) sont des cubes parfaits puisque : \[ 8 = 2^3 \quad \text{et} \quad 125 = 5^3. \]
Étape 2 : On utilise la propriété de la racine cubique d’une fraction : \[ \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}. \]
Étape 3 : On calcule : \[ \sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{et} \quad \sqrt[3]{125} = 5. \]
Conclusion : \[ \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}. \]
Étape 1 : On remarque que : \[ 1 = 1^3 \quad \text{et} \quad 64 = 4^3. \]
Étape 2 : On applique la propriété de la racine cubique : \[ \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}. \]
Conclusion : \[ \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}. \]
Étape 1 : Simplifions la fraction \(\frac{16}{54}\).
On peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(2\) : \[
\frac{16}{54} = \frac{16 \div 2}{54 \div 2} = \frac{8}{27}.
\]
Étape 2 : On remarque ensuite que \(8 = 2^3\) et \(27 = 3^3\).
Étape 3 : Ainsi, \[ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}. \]
Conclusion : \[ \sqrt[3]{\frac{16}{54}} = \frac{2}{3}. \]
Étape 1 : Simplifions la fraction \(\frac{3}{24}\).
Divisons par \(3\) : \[
\frac{3}{24} = \frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}.
\]
Étape 2 : On sait que \(8 = 2^3\).
Étape 3 : Ainsi, \[ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}. \]
Conclusion : \[ \sqrt[3]{\frac{3}{24}} = \frac{1}{2}. \]
Étape 1 : Simplifions la fraction \(\frac{40}{135}\).
On remarque que \(5\) est un diviseur
commun : \[
\frac{40}{135} = \frac{40 \div 5}{135 \div 5} = \frac{8}{27}.
\]
Étape 2 : On reconnaît que \(8 = 2^3\) et \(27 = 3^3\).
Étape 3 : Donc, \[ \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}. \]
Conclusion : \[ \sqrt[3]{\frac{40}{135}} = \frac{2}{3}. \]
Étape 1 : Simplifions la fraction \(\frac{7}{56}\).
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(7\) : \[
\frac{7}{56} = \frac{7 \div 7}{56 \div 7} = \frac{1}{8}.
\]
Étape 2 : On observe que \(8 = 2^3\).
Étape 3 : On calcule la racine cubique : \[ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}. \]
Conclusion : \[ \sqrt[3]{\frac{7}{56}} = \frac{1}{2}. \]
\(\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}\)
\(\sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}\)
\(\sqrt[3]{\frac{16}{54}} = \frac{2}{3}\)
\(\sqrt[3]{\frac{3}{24}} = \frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{\frac{40}{135}} = \frac{2}{3}\)
\(\sqrt[3]{\frac{7}{56}} = \frac{1}{2}\)
Chaque étape consiste à simplifier la fraction puis à appliquer la propriété qui dit que la racine cubique d’une fraction égale la fraction des racines cubiques. Les résultats obtenus sont exprimés sous forme de fractions irréductibles.