Exercice 35

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{\sqrt{16}}{25}\)

2. \(\frac{16}{\sqrt{25}}\)

3. \(\sqrt{\frac{16}{25}}\)

4. \(\frac{\sqrt{4}}{16}\)

5. \(\frac{4}{\sqrt{16}}\)

6. \(\sqrt{\frac{4}{16}}\)

Réponse

1. 4/25
   
2. 16/5
   
3. 4/5
   
4. 1/8
   
5. 1
   
6. 1/2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des points :

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1) \(\frac{\sqrt{16}}{25}\)

1. Calcul de la racine carrée dans le numérateur :
   \(\sqrt{16} = 4\)
   
2. Substitution dans la fraction :
   \(\frac{\sqrt{16}}{25} = \frac{4}{25}\)
   
3. Vérification de la forme irréductible :
   \(4\) et \(25\) n’ont aucun facteur commun autre que \(1\).

Réponse : \(\frac{4}{25}\)

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2) \(\frac{16}{\sqrt{25}}\)

1. Calcul de la racine carrée dans le dénominateur :
   \(\sqrt{25} = 5\)
   
2. Substitution dans la fraction :
   \(\frac{16}{\sqrt{25}} = \frac{16}{5}\)
   
3. Vérification de la forme irréductible :
   \(16\) et \(5\) n’ont pas de facteur commun autre que \(1\).

Réponse : \(\frac{16}{5}\)

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3) \(\sqrt{\frac{16}{25}}\)

1. Utilisation de la propriété de la racine carrée d’une fraction :
   \[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]
2. Application à notre fraction :
   \[ \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} \]
3. Calcul des racines :
   \(\sqrt{16} = 4\) et \(\sqrt{25} = 5\)
   
4. Résultat obtenu :
   \(\frac{4}{5}\)

Réponse : \(\frac{4}{5}\)

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4) \(\frac{\sqrt{4}}{16}\)

1. Calcul de la racine carrée dans le numérateur :
   \(\sqrt{4} = 2\)
   
2. Substitution dans la fraction :
   \(\frac{\sqrt{4}}{16} = \frac{2}{16}\)
   
3. Réduction de la fraction :
   Divisons le numérateur et le dénominateur par \(2\) : \[ \frac{2 \div 2}{16 \div 2} = \frac{1}{8} \]
4. Vérification de la forme irréductible :
   \(1\) et \(8\) n’ont pas de facteur commun autre que \(1\).

Réponse : \(\frac{1}{8}\)

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5) \(\frac{4}{\sqrt{16}}\)

1. Calcul de la racine carrée dans le dénominateur :
   \(\sqrt{16} = 4\)
   
2. Substitution dans la fraction :
   \(\frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4}\)
   
3. Simplification de la fraction :
   \(\frac{4}{4} = 1\)

Réponse : \(1\)

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6) \(\sqrt{\frac{4}{16}}\)

1. Simplification de la fraction sous la racine :
   \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)
   
2. Utilisation de la propriété de la racine carrée d’une fraction :
   \[ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} \]
3. Calcul des racines :
   \(\sqrt{1} = 1\) et \(\sqrt{4} = 2\)
   
4. Résultat obtenu :
   \(\frac{1}{2}\)

Réponse : \(\frac{1}{2}\)

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Ces corrections détaillées montrent comment, à l’aide de calculs étape par étape, nous obtenons les fractions irréductibles demandées pour chacune des expressions.