Calculer et simplifier chaque expression ci-dessous pour obtenir une fraction irréductible :
Réponses : 1. 2/3
2. 5/8
3. 5/2
4. 3/4
5. 2/3
Voici la correction détaillée pour chaque expression :
Étape 1 : On utilise la propriété de la racine carrée qui dit que \[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad \text{(pour \(a\ge0\) et \(b>0\))}. \]
Étape 2 : Appliquons cette propriété : \[ \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}. \]
Étape 3 : Calcul des racines carrées : \[ \sqrt{4}=2 \quad \text{et} \quad \sqrt{9}=3. \]
Étape 4 : On obtient donc : \[ \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}. \]
La fraction \(\frac{2}{3}\) est irréductible.
Étape 1 : Utilisons la même propriété : \[ \sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}}. \]
Étape 2 : Calcul des racines carrées : \[ \sqrt{25}=5 \quad \text{et} \quad \sqrt{64}=8. \]
Étape 3 : Ainsi, on a : \[ \sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}. \]
La fraction \(\frac{5}{8}\) est déjà irréductible.
Étape 1 : Simplifions d’abord la fraction sous la racine. On remarque que 50 et 8 se simplifient par 2 : \[ \frac{50}{8}=\frac{50 \div 2}{8 \div 2}=\frac{25}{4}. \]
Étape 2 : On a donc : \[ \sqrt{\frac{50}{8}}=\sqrt{\frac{25}{4}}. \]
Étape 3 : Appliquons la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}. \]
Étape 4 : Calcul des racines carrées : \[ \sqrt{25}=5 \quad \text{et} \quad \sqrt{4}=2. \]
Étape 5 : Finalement, \[ \sqrt{\frac{50}{8}}=\frac{5}{2}. \]
La fraction \(\frac{5}{2}\) est irréductible.
Étape 1 : Simplifions la fraction \(\frac{18}{32}\). On observe que 18 et 32 sont divisibles par 2 : \[ \frac{18}{32}=\frac{18 \div 2}{32 \div 2}=\frac{9}{16}. \]
Étape 2 : Ainsi, \[ \sqrt{\frac{18}{32}}=\sqrt{\frac{9}{16}}. \]
Étape 3 : Utilisons la propriété sur la racine : \[ \sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}. \]
Étape 4 : Calcul des racines carrées : \[ \sqrt{9}=3 \quad \text{et} \quad \sqrt{16}=4. \]
Étape 5 : On trouve : \[ \sqrt{\frac{18}{32}}=\frac{3}{4}. \]
La fraction \(\frac{3}{4}\) est irréductible.
Étape 1 : Commençons par simplifier la fraction \(\frac{12}{27}\). On remarque que 12 et 27 ont un diviseur commun : 3. \[ \frac{12}{27}=\frac{12 \div 3}{27 \div 3}=\frac{4}{9}. \]
Étape 2 : Ainsi, \[ \sqrt{\frac{12}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}. \]
Étape 3 : Appliquons la propriété de la racine carrée : \[ \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}. \]
Étape 4 : Calcul des racines : \[ \sqrt{4}=2 \quad \text{et} \quad \sqrt{9}=3. \]
Étape 5 : Donc, \[ \sqrt{\frac{12}{27}}=\frac{2}{3}. \]
La fraction \(\frac{2}{3}\) est irréductible.
Chaque expression a été simplifiée pour obtenir une fraction irréductible.