Exercice 32

Calculer les racines carrées des fractions suivantes :

1. \(\sqrt{\frac{1}{9}}\)
   
2. \(\sqrt{\frac{4}{25}}\)
   
3. \(\sqrt{\frac{36}{49}}\)
   
4. \(\sqrt{\frac{25}{9}}\)
   
5. \(\sqrt{\frac{81}{49}}\)
   
6. \(\sqrt{\frac{16}{49}}\)
   
7. \(\sqrt{\frac{9}{16}}\)
   
8. \(\sqrt{\frac{144}{100}}\)

Réponse

Voici la réponse courte :

1. 1/3
   
2. 2/5
   
3. 6/7
   
4. 5/3
   
5. 9/7
   
6. 4/7
   
7. 3/4
   
8. 6/5

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour calculer les racines carrées des fractions données.

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Rappel

Pour toute fraction \(\frac{a}{b}\) avec \(a \geq 0\) et \(b > 0\), on a la propriété suivante : \[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \] Il suffit donc de calculer la racine carrée du numérateur et du dénominateur séparément.

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1) \(\sqrt{\frac{1}{9}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{1} = 1\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{9} = 3\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \]

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2) \(\sqrt{\frac{4}{25}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{4} = 2\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{25} = 5\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} \]

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3) \(\sqrt{\frac{36}{49}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{36} = 6\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{49} = 7\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7} \]

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4) \(\sqrt{\frac{25}{9}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{25} = 5\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{9} = 3\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} \]

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5) \(\sqrt{\frac{81}{49}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{81} = 9\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{49} = 7\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7} \]

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6) \(\sqrt{\frac{16}{49}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{16} = 4\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{49} = 7\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7} \]

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7) \(\sqrt{\frac{9}{16}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{9} = 3\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{16} = 4\)
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \]

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8) \(\sqrt{\frac{144}{100}}\)

• Étape 1 : Calcul du numérateur
  \(\sqrt{144} = 12\)
• Étape 2 : Calcul du dénominateur
  \(\sqrt{100} = 10\)
• Étape 3 : On peut simplifier la fraction \(\frac{12}{10}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 2
  \[ \frac{12}{10} = \frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5} \]
• Résultat :
  \[ \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{6}{5} \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\)
   
2. \(\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}\)
   
3. \(\sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7}\)
   
4. \(\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}\)
   
5. \(\sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7}\)
   
6. \(\sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}\)
   
7. \(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\)
   
8. \(\sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{6}{5}\)

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Cette méthode montre comment, en utilisant la propriété \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), il est facile de trouver chaque racine carrée en traitant séparément le numérateur et le dénominateur.
J’espère que cette explication est claire et vous aide à comprendre la démarche !