Exercice 31
Calculer, lorsque cela est possible :
- \(\sqrt{9}\)
- \(-\sqrt{9}\)
- \(\sqrt[3]{-27}\)
- \(\sqrt[3]{+27}\)
- \(\sqrt[3]{+8}\)
- \(-\sqrt[4]{16}\)
- \(\sqrt{-9}\)
- \(\sqrt[3]{-8}\)
- \(\sqrt[4]{-81}\)
- \(-\sqrt[4]{-625}\)
- \(\sqrt[3]{125}\)
- \(-\sqrt{-49}\)
Réponse
Réponses :
1. √9 = 3
2. –√9 = –3
3. ∛(–27) = –3
4. ∛27 = 3
5. ∛8 = 2
6. –√[4]{16} = –2
7. √(–9) n’est pas défini dans ℝ
8. ∛(–8) = –2
9. √[4]{–81} n’est pas défini dans ℝ
10. –√[4]{–625} n’est pas défini dans ℝ
11. ∛125 = 5
12. –√(–49) n’est pas défini dans ℝ
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée étape par étape :
- Calcul de \(\sqrt{9}\)
La racine carrée de 9 est le nombre positif qui, lorsqu’il est multiplié
par lui-même, donne 9.
\[
3 \times 3 = 9
\]
Réponse : \(3\).
- Calcul de \(-\sqrt{9}\)
On réalise d’abord le calcul de \(\sqrt{9}\) comme ci‑dessus, ce qui donne
\(3\).
Ensuite, on applique le signe négatif :
\[
-\sqrt{9} = -3.
\]
Réponse : \(-3\).
- Calcul de \(\sqrt[3]{-27}\)
La racine cubique d’un nombre négatif se calcule comme suit :
On cherche un nombre tel que : \[
x^3 = -27.
\]
On vérifie avec \(x = -3\) :
\[
(-3)^3 = -27.
\]
Réponse : \(-3\).
- Calcul de \(\sqrt[3]{+27}\)
On cherche un nombre tel que : \[
x^3 = 27.
\]
On vérifie avec \(x = 3\) :
\[
3^3 = 27.
\]
Réponse : \(3\).
- Calcul de \(\sqrt[3]{+8}\)
On cherche un nombre \(x\) tel que :
\[
x^3 = 8.
\]
On vérifie avec \(x = 2\) car : \[
2^3 = 8.
\]
Réponse : \(2\).
- Calcul de \(-\sqrt[4]{16}\)
La racine quatrième de 16 est le nombre positif dont la quatrième
puissance donne 16.
On cherche \(x\) tel que : \[
x^4 = 16.
\]
On constate que \(2^4 = 16\) (car même
\((-2)^4 = 16\) mais on prend toujours
la valeur principale positive pour la racine d’indice pair).
Donc, \(\sqrt[4]{16} = 2\).
En appliquant le signe négatif, on obtient : \[
-\sqrt[4]{16} = -2.
\]
Réponse : \(-2\).
- Calcul de \(\sqrt{-9}\)
La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans l’ensemble
des nombres réels.
Réponse : Ce calcul n’est pas possible dans \(\mathbb{R}\).
- Calcul de \(\sqrt[3]{-8}\)
La racine cubique d’un nombre négatif est bien définie. On cherche \(x\) tel que : \[
x^3 = -8.
\]
En testant \(x = -2\) : \[
(-2)^3 = -8.
\]
Réponse : \(-2\).
- Calcul de \(\sqrt[4]{-81}\)
La racine quatrième (indice pair) d’un nombre négatif ne peut pas être
calculée dans \(\mathbb{R}\) car aucun
nombre réel élevé à la puissance 4 ne donne un résultat négatif.
Réponse : Ce calcul n’est pas possible dans \(\mathbb{R}\).
- Calcul de \(-\sqrt[4]{-625}\)
Comme pour le cas précédent, \(\sqrt[4]{-625}\) n’est pas définie dans
\(\mathbb{R}\) puisque l’indice 4 est
pair.
Réponse : Ce calcul n’est pas possible dans \(\mathbb{R}\).
- Calcul de \(\sqrt[3]{125}\)
On cherche un nombre \(x\) tel que :
\[
x^3 = 125.
\]
On constate que \(5^3 = 125\).
Réponse : \(5\).
- Calcul de \(-\sqrt{-49}\)
La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans l’ensemble
des nombres réels.
Réponse : Ce calcul n’est pas possible dans \(\mathbb{R}\).
Chaque étape montre clairement la raison pour laquelle la solution
est obtenue ainsi. Ces explications détaillées permettent de comprendre
comment traiter des racines de différents indices et des nombres
négatifs.