Exercice 25

Exercice

Calculer la valeur de \(\sqrt{a^2}\) pour chacune des valeurs suivantes :

1. \(a = 1\)
2. \(a = 3\)
3. \(a = 0,1\)
4. \(a = 100\)
5. \(a = 7\)
6. \(a = 0,02\)
7. \(a = 11\)
8. \(a = 0,5\)

Réponse

Pour tout nombre réel a, √(a²) = |a|. Ainsi :

• √(1²) = 1
• √(3²) = 3
• √((0,1)²) = 0,1
• √(100²) = 100
• √(7²) = 7
• √((0,02)²) = 0,02
• √(11²) = 11
• √((0,5)²) = 0,5

Corrigé détaillé

Nous allons calculer la valeur de \(\sqrt{a^2}\) pour différentes valeurs de \(a\). Pour cela, il faut d’abord se rappeler une propriété importante concernant les racines carrées et les puissances :

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Propriété Clé

Pour tout nombre réel \(a\), on a : \[ \sqrt{a^2} = |a| \] Cela signifie que la racine carrée du carré d’un nombre est égale à la valeur absolue de ce nombre. La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle.

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Application pour chaque valeur

1. Pour \(a = 1\) :
   \[ \sqrt{1^2} = |1| = 1 \]

2. Pour \(a = 3\) :
   \[ \sqrt{3^2} = |3| = 3 \]

3. Pour \(a = 0,1\) :
   \[ \sqrt{(0,1)^2} = |0,1| = 0,1 \]

4. Pour \(a = 100\) :
   \[ \sqrt{100^2} = |100| = 100 \]

5. Pour \(a = 7\) :
   \[ \sqrt{7^2} = |7| = 7 \]

6. Pour \(a = 0,02\) :
   \[ \sqrt{(0,02)^2} = |0,02| = 0,02 \]

7. Pour \(a = 11\) :
   \[ \sqrt{11^2} = |11| = 11 \]

8. Pour \(a = 0,5\) :
   \[ \sqrt{(0,5)^2} = |0,5| = 0,5 \]

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Récapitulatif Final

• \(\sqrt{1^2} = 1\)
• \(\sqrt{3^2} = 3\)
• \(\sqrt{(0,1)^2} = 0,1\)
• \(\sqrt{100^2} = 100\)
• \(\sqrt{7^2} = 7\)
• \(\sqrt{(0,02)^2} = 0,02\)
• \(\sqrt{11^2} = 11\)
• \(\sqrt{(0,5)^2} = 0,5\)

Cette méthode fonctionne pour n’importe quelle valeur réelle car la conversion en valeur absolue assure que le résultat est toujours positif ou nul. Voilà la démarche complète pour résoudre cet exercice !