Exercice
Encadrez chacun des nombres suivants à la dizaine près :
Voici le résumé très court des encadrements obtenus :
Voici la correction détaillée pour encadrer chacun des nombres donnés « à la dizaine près ». Cela signifie que nous allons montrer que chaque valeur de \(\sqrt{N}\) se trouve entre deux multiples de 10 consécutifs. Pour cela, nous allons souvent estimer la valeur de \(\sqrt{N}\) en nous rappelant de quelques carrés connus.
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{5472}\).
Nous remarquons que : \[ 74^2 = 5476. \] Comme \(5472\) est très proche de \(5476\), on peut conclure que : \[ \sqrt{5472} \approx 73{,}9. \]
Étape 2 : Trouver les dizaines qui encadrent cette valeur.
Les multiples de 10 qui sont immédiatement inférieurs et supérieurs à
\(73{,}9\) sont \(70\) et \(80\).
Donc,
\[
70 < \sqrt{5472} < 80.
\]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{547}\).
Nous savons que : \[ 22^2 = 484 \quad \text{et} \quad 23^2 = 529. \] Même si \(23^2\) est déjà proche, \(547\) est supérieur à \(529\). En fait, on peut remarquer que \(24^2 = 576\). Ainsi : \[ 23^2 = 529 < 547 < 576 = 24^2. \] Donc, \(\sqrt{547}\) se trouve entre \(23\) et \(24\) (approximativement \(23{,}4\)).
Étape 2 : Déterminer l’encadrement à la dizaine près.
Le nombre \(23{,}4\) est dans la
vingtaine. Les dizaines inférieure et supérieure sont alors \(20\) et \(30\).
Donc,
\[
20 < \sqrt{547} < 30.
\]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{6248}\).
On cherche des carrés proches de \(6248\). On trouve : \[
79^2 = 6241 \quad \text{et} \quad 80^2 = 6400.
\] Ainsi,
\[
6241 < 6248 < 6400,
\] ce qui donne \(\sqrt{6248} \approx
79{,}1\).
Étape 2 : Encadrement à la dizaine près.
Le nombre \(79{,}1\) se situe dans
les années 70, donc entre \(70\) et
\(80\).
Ainsi,
\[
70 < \sqrt{6248} < 80.
\]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{624}\).
Nous remarquons que : \[
24^2 = 576 \quad \text{et} \quad 25^2 = 625.
\] Ici,
\[
576 < 624 < 625,
\] ce qui montre que \(\sqrt{624}
\approx 24{,}98\).
Étape 2 : Encadrement à la dizaine près.
Puisque \(24{,}98\) se trouve dans la vingtaine, on a : \[ 20 < \sqrt{624} < 30. \]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{122}\).
Nous utilisons les carrés : \[ 11^2 = 121 \quad \text{et} \quad 12^2 = 144. \] Donc, \[ 121 < 122 < 144, \] et ainsi \(\sqrt{122} \approx 11{,}04\).
Étape 2 : Encadrement à la dizaine près.
Le nombre \(11{,}04\) se situe entre
\(10\) et \(20\) (car \(10\) et \(20\) sont les multiples de 10 entourant
11).
Donc,
\[
10 < \sqrt{122} < 20.
\]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{3427}\).
Nous connaissons : \[ 58^2 = 3364 \quad \text{et} \quad 59^2 = 3481. \] Comme, \[ 3364 < 3427 < 3481, \] on estime \(\sqrt{3427} \approx 58{,}56\).
Étape 2 : Encadrement à la dizaine près.
Le nombre \(58{,}56\) se trouve dans
les années 50. Ainsi, il est encadré par \(50\) et \(60\).
Donc,
\[
50 < \sqrt{3427} < 60.
\]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{12134}\).
Nous avons : \[ 110^2 = 12100 \quad \text{et} \quad 111^2 = 12321. \] Ainsi, \[ 12100 < 12134 < 12321, \] et \(\sqrt{12134} \approx 110{,}2\).
Étape 2 : Encadrement à la dizaine près.
Le nombre \(110{,}2\) se situe dans
la centaine et se rapproche de \(110\).
Les dizaines immédiatement inférieures et supérieures sont \(110\) et \(120\).
Donc,
\[
110 < \sqrt{12134} < 120.
\]
Étape 1 : Estimer la valeur de \(\sqrt{72}\).
On sait que : \[ 8^2 = 64 \quad \text{et} \quad 9^2 = 81. \] Ainsi, \[ 64 < 72 < 81, \] et \(\sqrt{72} \approx 8{,}49\).
Étape 2 : Encadrement à la dizaine près.
Puisque \(8{,}49\) est inférieur à
10, les multiples de 10 qui l’encadrent sont \(0\) et \(10\).
Donc,
\[
0 < \sqrt{72} < 10.
\]
\(\sqrt{5472}\) est encadré par
:
\(\boxed{70 < \sqrt{5472} <
80}\)
\(\sqrt{547}\) est encadré par
:
\(\boxed{20 < \sqrt{547} <
30}\)
\(\sqrt{6248}\) est encadré par
:
\(\boxed{70 < \sqrt{6248} <
80}\)
\(\sqrt{624}\) est encadré par
:
\(\boxed{20 < \sqrt{624} <
30}\)
\(\sqrt{122}\) est encadré par
:
\(\boxed{10 < \sqrt{122} <
20}\)
\(\sqrt{3427}\) est encadré par
:
\(\boxed{50 < \sqrt{3427} <
60}\)
\(\sqrt{12134}\) est encadré par
:
\(\boxed{110 < \sqrt{12134} <
120}\)
\(\sqrt{72}\) est encadré par
:
\(\boxed{0 < \sqrt{72} <
10}\)
Chaque encadrement est obtenu en estimant la valeur de la racine carrée à l’aide de carrés connus, puis en trouvant les deux multiples de 10 (la “dizaine” inférieure et supérieure) entre lesquels la valeur se situe.