Exercice 23

Exercice :

Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près :

1. \(\sqrt{0,3}\)
   
2. \(\sqrt{0,8}\)
   
3. \(\sqrt{0,05}\)
   
4. \(\sqrt{0,53}\)
   
5. \(\sqrt{0,342}\)
   
6. \(\sqrt{0,4}\)
   
7. \(\sqrt{0,07}\)
   
8. \(\sqrt{0,152}\)

Réponse

1. √0,3 ∈ [0,5 ; 0,6]
   
2. √0,8 ∈ [0,8 ; 0,9]
   
3. √0,05 ∈ [0,2 ; 0,3]
   
4. √0,53 ∈ [0,7 ; 0,8]
   
5. √0,342 ∈ [0,5 ; 0,6]
   
6. √0,4 ∈ [0,6 ; 0,7]
   
7. √0,07 ∈ [0,2 ; 0,3]
   
8. √0,152 ∈ [0,3 ; 0,4]

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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But de l’exercice :
Pour chaque nombre donné, nous devons trouver deux nombres décimaux (arrondis au dixième) tels que le nombre exact, ici la valeur de la racine carrée, soit compris entre ces deux nombres.

On utilise la propriété suivante :
Si pour un nombre \(a\) on a
\[ c^2 \le a < (c+0,1)^2, \]
alors
\[ \sqrt{a} \in [\,c ; c+0,1\,]. \]

Nous allons appliquer cette méthode pour chacun des cas.

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1) Encadrer \(\sqrt{0,3}\)

• Calcul intuitif :
  On cherche deux nombres décimaux \(c\) et \(c+0,1\) tels que
  \[ c^2 \le 0,3 < (c+0,1)^2. \]
• Choix :
  Essayons \(c=0,5\).
  \[ (0,5)^2 = 0,25\quad\text{et}\quad (0,6)^2 = 0,36. \]
• Vérification :
  Comme \(0,25 \le 0,3 < 0,36\), on a
  \[ \sqrt{0,3} \in [0,5 ; 0,6]. \]

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2) Encadrer \(\sqrt{0,8}\)

• Choix :
  On essaie \(c=0,8\):
  \[ (0,8)^2 = 0,64\quad\text{et}\quad (0,9)^2 = 0,81. \]
• Vérification :
  Comme \(0,64 \le 0,8 < 0,81\), on en déduit
  \[ \sqrt{0,8} \in [0,8 ; 0,9]. \]

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3) Encadrer \(\sqrt{0,05}\)

• Choix :
  Prenons \(c=0,2\) :
  \[ (0,2)^2 = 0,04\quad\text{et}\quad (0,3)^2 = 0,09. \]
• Vérification :
  \(0,04 \le 0,05 < 0,09\) donc
  \[ \sqrt{0,05} \in [0,2 ; 0,3]. \]

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4) Encadrer \(\sqrt{0,53}\)

• Choix :
  Essayons \(c=0,7\) :
  \[ (0,7)^2 = 0,49\quad\text{et}\quad (0,8)^2 = 0,64. \]
• Vérification :
  Puisque \(0,49 \le 0,53 < 0,64\), on obtient
  \[ \sqrt{0,53} \in [0,7 ; 0,8]. \]

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5) Encadrer \(\sqrt{0,342}\)

• Choix :
  Prenons \(c=0,5\) :
  \[ (0,5)^2 = 0,25\quad\text{et}\quad (0,6)^2 = 0,36. \]
• Vérification :
  On a \(0,25 \le 0,342 < 0,36\), ainsi
  \[ \sqrt{0,342} \in [0,5 ; 0,6]. \]

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6) Encadrer \(\sqrt{0,4}\)

• Choix :
  Choisissons \(c=0,6\) :
  \[ (0,6)^2 = 0,36\quad\text{et}\quad (0,7)^2 = 0,49. \]
• Vérification :
  Comme \(0,36 \le 0,4 < 0,49\), on a
  \[ \sqrt{0,4} \in [0,6 ; 0,7]. \]

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7) Encadrer \(\sqrt{0,07}\)

• Choix :
  Prenons \(c=0,2\) :
  \[ (0,2)^2 = 0,04\quad\text{et}\quad (0,3)^2 = 0,09. \]
• Vérification :
  \(0,04 \le 0,07 < 0,09\) donc
  \[ \sqrt{0,07} \in [0,2 ; 0,3]. \]

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8) Encadrer \(\sqrt{0,152}\)

• Choix :
  Ici, essayons \(c=0,3\) :
  \[ (0,3)^2 = 0,09\quad\text{et}\quad (0,4)^2 = 0,16. \]
• Vérification :
  Comme \(0,09 \le 0,152 < 0,16\), on conclut
  \[ \sqrt{0,152} \in [0,3 ; 0,4]. \]

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Récapitulatif des encadrements :

1. \(\sqrt{0,3} \in [0,5 ; 0,6]\)
   
2. \(\sqrt{0,8} \in [0,8 ; 0,9]\)
   
3. \(\sqrt{0,05} \in [0,2 ; 0,3]\)
   
4. \(\sqrt{0,53} \in [0,7 ; 0,8]\)
   
5. \(\sqrt{0,342} \in [0,5 ; 0,6]\)
   
6. \(\sqrt{0,4} \in [0,6 ; 0,7]\)
   
7. \(\sqrt{0,07} \in [0,2 ; 0,3]\)
   
8. \(\sqrt{0,152} \in [0,3 ; 0,4]\)

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Chaque étape consiste à choisir un nombre décimal \(c\) (au dixième près) qui, mis au carré, est inférieur ou égal au nombre sous la racine, et vérifier que le carré de \(c+0,1\) est supérieur à ce nombre. Cela permet d’encadrer la racine carrée de manière précise pour le niveau demandé.

Cette méthode est très utile pour estimer rapidement les valeurs des racines carrées sans utiliser de calculatrice pour obtenir des approximations plus précises.