Exercice 21

Exercice :

Encadrez chacun des nombres suivants à la dizaine près :

1. \(\sqrt{700}\)
   
2. \(\sqrt{70}\)
   
3. \(\sqrt{8000}\)
   
4. \(\sqrt{800}\)
   
5. \(\sqrt{3271}\)
   
6. \(\sqrt{2347}\)
   
7. \(\sqrt{1000}\)
   
8. \(\sqrt{324}\)

Réponse

1. 20 < √700 < 30
   
2. 0 < √70 < 10
   
3. 80 < √8000 < 90
   
4. 20 < √800 < 30
   
5. 50 < √3271 < 60
   
6. 40 < √2347 < 50
   
7. 30 < √1000 < 40
   
8. 10 < √324 < 20

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée pour encadrer chacun des nombres à la dizaine près. Pour ce faire, nous cherchons deux nombres, multipliés par 10, tels que le nombre se situe entre ces deux bornes. Autrement dit, pour un nombre \(x\), on trouve des dizaines \(a\) et \(b\) (avec \(b = a+10\)) telles que
\[ a < x < b. \]

Nous allons appliquer cette méthode pour chacun des exercices.

---

1) Encadrer \(\sqrt{700}\)

• Étape 1 : On cherche deux dizaines dont les carrés encadrent 700.
  Calculons :
  \[ 20^2 = 400 \quad\text{et}\quad 30^2 = 900. \]
• Étape 2 : Comme \(400 < 700 < 900\), on en déduit que
  \[ 20 < \sqrt{700} < 30. \]

---

2) Encadrer \(\sqrt{70}\)

• Étape 1 : On cherche deux dizaines dont les carrés encadrent 70.
  Calculons :
  \[ 0^2 = 0 \quad\text{et}\quad 10^2 = 100. \]
• Étape 2 : Puisque \(0 < 70 < 100\), on a
  \[ 0 < \sqrt{70} < 10. \]

---

3) Encadrer \(\sqrt{8000}\)

• Étape 1 : Déterminons les dizaines grâce aux carrés :
  \[ 80^2 = 6400 \quad\text{et}\quad 90^2 = 8100. \]
• Étape 2 : Comme \(6400 < 8000 < 8100\), alors
  \[ 80 < \sqrt{8000} < 90. \]

---

4) Encadrer \(\sqrt{800}\)

• Étape 1 : Essayons avec :
  \[ 20^2 = 400 \quad\text{et}\quad 30^2 = 900. \]
• Étape 2 : On remarque que \(400 < 800 < 900\), donc
  \[ 20 < \sqrt{800} < 30. \]

---

5) Encadrer \(\sqrt{3271}\)

• Étape 1 : On repère d’abord les dizaines.
  \[ 50^2 = 2500 \quad\text{et}\quad 60^2 = 3600. \]

• Étape 2 : Étant donné que \(2500 < 3271 < 3600\), on a
  \[ 50 < \sqrt{3271} < 60. \]

  (Optionnellement, on peut noter que \(57^2 = 3249\) et \(58^2 = 3364\), ce qui montre que \(\sqrt{3271}\) est un peu plus grand que 57, mais pour un encadrement à la dizaine, les bornes 50 et 60 suffisent.)

---

6) Encadrer \(\sqrt{2347}\)

• Étape 1 : On détermine les dizaines à partir des carrés :
  \[ 40^2 = 1600 \quad\text{et}\quad 50^2 = 2500. \]

• Étape 2 : Sachant que \(1600 < 2347 < 2500\), cela donne
  \[ 40 < \sqrt{2347} < 50. \]

  (On peut aussi remarquer que \(48^2 = 2304\) et \(49^2 = 2401\) mais pour notre encadrement à la dizaine, 40 et 50 sont suffisants.)

---

7) Encadrer \(\sqrt{1000}\)

• Étape 1 : On cherche des dizaines telles que :
  \[ 30^2 = 900 \quad\text{et}\quad 40^2 = 1600. \]
• Étape 2 : Puisque \(900 < 1000 < 1600\), on trouve
  \[ 30 < \sqrt{1000} < 40. \]

---

8) Encadrer \(\sqrt{324}\)

• Étape 1 : Remarquons d’abord que \(324\) est un carré parfait. En effet,
  \[ 18^2 = 324. \]
• Étape 2 : Toutefois, pour encadrer à la dizaine, nous choisissons les dizaines immédiatement inférieure et supérieure à 18, c’est-à-dire 10 et 20. Ainsi,
  \[ 10 < \sqrt{324} = 18 < 20. \]

---

Récapitulatif des résultats

1. \(\sqrt{700}\) est encadré par \(20\) et \(30\) :
   \[ 20 < \sqrt{700} < 30. \]
2. \(\sqrt{70}\) est encadré par \(0\) et \(10\) :
   \[ 0 < \sqrt{70} < 10. \]
3. \(\sqrt{8000}\) est encadré par \(80\) et \(90\) :
   \[ 80 < \sqrt{8000} < 90. \]
4. \(\sqrt{800}\) est encadré par \(20\) et \(30\) :
   \[ 20 < \sqrt{800} < 30. \]
5. \(\sqrt{3271}\) est encadré par \(50\) et \(60\) :
   \[ 50 < \sqrt{3271} < 60. \]
6. \(\sqrt{2347}\) est encadré par \(40\) et \(50\) :
   \[ 40 < \sqrt{2347} < 50. \]
7. \(\sqrt{1000}\) est encadré par \(30\) et \(40\) :
   \[ 30 < \sqrt{1000} < 40. \]
8. \(\sqrt{324}\) est encadré par \(10\) et \(20\) :
   \[ 10 < \sqrt{324} < 20. \]

Chaque résultat a été obtenu en comparant le carré des dizaines avec le nombre sous la racine carrée. Cela permet de trouver facilement dans quel intervalle de dizaines se trouve chaque valeur.