Exercice 20

Exercice

Pour chaque expression suivante, encadrez la valeur de l’expression au dixième près :

1. \(\sqrt{0.6}\)
   
2. \(\sqrt{0.08}\)
   
3. \(\sqrt{0.47}\)
   
4. \(\sqrt{0.001}\)
   
5. \(\sqrt{0.9}\)
   
6. \(\sqrt{0.72}\)
   
7. \(\sqrt{0.03}\)
   
8. \(\sqrt{0.28}\)

Réponse

Réponses :

1. 0,7 < √0,6 < 0,8
   
2. 0,2 < √0,08 < 0,3
   
3. 0,6 < √0,47 < 0,7
   
4. 0,0 < √0,001 < 0,1
   
5. 0,9 < √0,9 < 1,0
   
6. 0,8 < √0,72 < 0,9
   
7. 0,1 < √0,03 < 0,2
   
8. 0,5 < √0,28 < 0,6

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Nous souhaitons encadrer, au dixième près, la valeur de chaque expression. Cela signifie que nous allons trouver deux nombres décimaux, dont la différence est 0,1, tels que le nombre calculé se trouve entre ces deux valeurs.

Nous allons traiter chaque cas.

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1) \(\sqrt{0.6}\)

1. Nous pouvons remarquer que : \[ \sqrt{0.6} \approx 0.7746 \]
2. Pour encadrer ce résultat au dixième près, nous cherchons deux multiples de 0,1 entre lesquels se situe \(0.7746\).
   Les deux plus proches sont \(0.7\) et \(0.8\).

On a donc : \[ 0.7 < \sqrt{0.6} < 0.8 \]

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2) \(\sqrt{0.08}\)

1. Une astuce consiste à écrire \(0.08=\frac{8}{100}\) et ainsi : \[ \sqrt{0.08} = \frac{\sqrt{8}}{10} \quad \text{et} \quad \sqrt{8} \approx 2.828 \] d’où : \[ \sqrt{0.08} \approx \frac{2.828}{10}=0.2828 \]
2. Pour encadrer ce résultat, on remarque que \(0.2828\) est compris entre \(0.2\) et \(0.3\).

On a donc : \[ 0.2 < \sqrt{0.08} < 0.3 \]

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3) \(\sqrt{0.47}\)

1. En utilisant une calculatrice ou une estimation, on trouve : \[ \sqrt{0.47} \approx 0.6856 \]
2. Le nombre \(0.6856\) est compris entre \(0.6\) et \(0.7\) (les deux multiples de \(0.1\) autour de ce résultat).

On écrit ainsi : \[ 0.6 < \sqrt{0.47} < 0.7 \]

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4) \(\sqrt{0.001}\)

1. Calculons : \[ \sqrt{0.001} \approx 0.03162 \]
2. Ce résultat est très petit et se situe entre \(0.0\) et \(0.1\) (les deux multiples de \(0.1\) proches).

Donc : \[ 0.0 < \sqrt{0.001} < 0.1 \]

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5) \(\sqrt{0.9}\)

1. On trouve : \[ \sqrt{0.9} \approx 0.94868 \]
2. Ainsi, ce résultat se situe entre \(0.9\) et \(1.0\).

On a donc : \[ 0.9 < \sqrt{0.9} < 1.0 \]

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6) \(\sqrt{0.72}\)

1. En estimant, on a : \[ \sqrt{0.72} \approx 0.8485 \]
2. Ici, \(0.8485\) est compris entre \(0.8\) et \(0.9\).

On écrit donc : \[ 0.8 < \sqrt{0.72} < 0.9 \]

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7) \(\sqrt{0.03}\)

1. Calculons : \[ \sqrt{0.03} \approx 0.1732 \]
2. Le résultat se trouve entre \(0.1\) et \(0.2\).

On a ainsi : \[ 0.1 < \sqrt{0.03} < 0.2 \]

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8) \(\sqrt{0.28}\)

1. En arrondissant, on trouve : \[ \sqrt{0.28} \approx 0.52915 \]
2. Ce nombre est compris entre \(0.5\) et \(0.6\).

On obtient : \[ 0.5 < \sqrt{0.28} < 0.6 \]

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Récapitulatif des encadrements

1. \(\sqrt{0.6}\) : \(0.7 < \sqrt{0.6} < 0.8\)
2. \(\sqrt{0.08}\) : \(0.2 < \sqrt{0.08} < 0.3\)
3. \(\sqrt{0.47}\) : \(0.6 < \sqrt{0.47} < 0.7\)
4. \(\sqrt{0.001}\) : \(0.0 < \sqrt{0.001} < 0.1\)
5. \(\sqrt{0.9}\) : \(0.9 < \sqrt{0.9} < 1.0\)
6. \(\sqrt{0.72}\) : \(0.8 < \sqrt{0.72} < 0.9\)
7. \(\sqrt{0.03}\) : \(0.1 < \sqrt{0.03} < 0.2\)
8. \(\sqrt{0.28}\) : \(0.5 < \sqrt{0.28} < 0.6\)

Chaque encadrement est obtenu en approchant les valeurs par rapport aux multiples de 0,1, ce qui permet d’avoir une idée précise du résultat au dixième près.

Voilà la correction complète et détaillée de l’exercice.