Exercice 19

Exercice :

Pour chacun des nombres suivants, déterminer deux entiers successifs entre lesquels se situe le nombre :

1. \(\sqrt{17}\)
2. \(\sqrt{30}\)
3. \(\sqrt{110}\)
4. \(\sqrt{68}\)
5. \(\sqrt{72}\)
6. \(\sqrt{7}\)
7. \(\sqrt{39}\)
8. \(\sqrt{908}\)

Réponse

1. √17 est entre 4 et 5.
   
2. √30 est entre 5 et 6.
   
3. √110 est entre 10 et 11.
   
4. √68 est entre 8 et 9.
   
5. √72 est entre 8 et 9.
   
6. √7 est entre 2 et 3.
   
7. √39 est entre 6 et 7.
   
8. √908 est entre 30 et 31.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice :

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Rappel général

Pour déterminer deux entiers successifs entre lesquels se situe un nombre tel que \(\sqrt{a}\), nous cherchons deux entiers \(n\) et \(n+1\) tels que : \[ n^2 < a < (n+1)^2. \] Ces deux inégalités montrent que \(\sqrt{a}\) est plus grand que \(n\) mais plus petit que \(n+1\).

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1. Pour \(\sqrt{17}\)

• Étape 1 : Identifier des carrés parfaits proches de 17.

  • \(4^2 = 16\)
  • \(5^2 = 25\)

• Étape 2 : On constate que : \[ 16 < 17 < 25, \] donc \[ \sqrt{17} \text{ est entre } 4 \text{ et } 5. \]

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2. Pour \(\sqrt{30}\)

• Étape 1 : Identifier des carrés parfaits proches de 30.

  • \(5^2 = 25\)
  • \(6^2 = 36\)

• Étape 2 : On constate que : \[ 25 < 30 < 36, \] par conséquent, \[ \sqrt{30} \text{ est entre } 5 \text{ et } 6. \]

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3. Pour \(\sqrt{110}\)

• Étape 1 : Identifier des carrés parfaits proches de 110.

  • \(10^2 = 100\)
  • \(11^2 = 121\)

• Étape 2 : On observe que : \[ 100 < 110 < 121, \] ce qui entraîne : \[ \sqrt{110} \text{ est entre } 10 \text{ et } 11. \]

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4. Pour \(\sqrt{68}\)

• Étape 1 : Rechercher des carrés parfaits autour de 68.

  • \(8^2 = 64\)
  • \(9^2 = 81\)

• Étape 2 : On a : \[ 64 < 68 < 81, \] donc \[ \sqrt{68} \text{ se situe entre } 8 \text{ et } 9. \]

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5. Pour \(\sqrt{72}\)

• Étape 1 : Identifier des carrés proches de 72.

  • \(8^2 = 64\)
  • \(9^2 = 81\)

• Étape 2 : Puisque : \[ 64 < 72 < 81, \] on déduit que : \[ \sqrt{72} \text{ est entre } 8 \text{ et } 9. \]

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6. Pour \(\sqrt{7}\)

• Étape 1 : Chercher des carrés parfaits autour de 7.

  • \(2^2 = 4\)
  • \(3^2 = 9\)

• Étape 2 : On note : \[ 4 < 7 < 9, \] ainsi, \[ \sqrt{7} \text{ est entre } 2 \text{ et } 3. \]

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7. Pour \(\sqrt{39}\)

• Étape 1 : Identifier des carrés parfaits proches de 39.

  • \(6^2 = 36\)
  • \(7^2 = 49\)

• Étape 2 : On remarque que : \[ 36 < 39 < 49, \] donc \[ \sqrt{39} \text{ se situe entre } 6 \text{ et } 7. \]

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8. Pour \(\sqrt{908}\)

• Étape 1 : Rechercher les carrés parfaits encadrant 908.

  • \(30^2 = 900\)
  • \(31^2 = 961\)

• Étape 2 : Comme : \[ 900 < 908 < 961, \] alors \[ \sqrt{908} \text{ est entre } 30 \text{ et } 31. \]

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Résumé des réponses

1. \(\sqrt{17}\) est entre 4 et 5.
2. \(\sqrt{30}\) est entre 5 et 6.
3. \(\sqrt{110}\) est entre 10 et 11.
4. \(\sqrt{68}\) est entre 8 et 9.
5. \(\sqrt{72}\) est entre 8 et 9.
6. \(\sqrt{7}\) est entre 2 et 3.
7. \(\sqrt{39}\) est entre 6 et 7.
8. \(\sqrt{908}\) est entre 30 et 31.

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Cette démarche consiste à comparer le nombre à évaluer avec les carrés parfaits les plus proches afin de situer sa racine carrée entre deux entiers consécutifs. Chaque étape est basée sur l’inégalité \(n^2 < a < (n+1)^2\).