Exercice 15

Exercice

Trouver tous les nombres entiers \(n\) tels que \(1600 \leq n^2 \leq 2500\).

Réponse

Les entiers n vérifiant 1600 ≤ n² ≤ 2500 sont ceux pour lesquels n ∈ [-50, -40] ∪ [40, 50].

Corrigé détaillé

Nous souhaitons trouver tous les entiers \(n\) tels que : \[ 1600 \leq n^2 \leq 2500. \]

Étape 1 : Prendre la racine carrée de l’inégalité

Puisque \(n^2\) est compris entre 1600 et 2500, nous pouvons étudier cette inégalité en prenant la racine carrée des deux bornes. Cependant, comme \(n^2\) est le carré de \(n\), nous devons tenir compte du fait que \(n\) peut être positif ou négatif. La relation devient donc : \[ \sqrt{1600} \leq |n| \leq \sqrt{2500}. \]

Étape 2 : Calculer les racines carrées

Calculons les valeurs : \[ \sqrt{1600} = 40 \quad \text{et} \quad \sqrt{2500} = 50. \] Donc, nous avons : \[ 40 \leq |n| \leq 50. \]

Étape 3 : Traduire l’inégalité en termes de \(n\)

L’inégalité \(40 \leq |n| \leq 50\) signifie que la valeur absolue de \(n\) est comprise entre 40 et 50. Cela conduit à deux situations pour \(n\) :

1. \(n\) est positif : \[ 40 \leq n \leq 50. \]
2. \(n\) est négatif :
   \[ -50 \leq n \leq -40. \]

Étape 4 : Écrire la solution complète

Les nombres entiers \(n\) qui satisfont l’inégalité \(1600 \leq n^2 \leq 2500\) sont donc ceux qui appartiennent aux intervalles : \[ n \in [-50, -40] \cup [40, 50]. \]

Vérification rapide

• Pour \(n = 40\) et \(n = -40\), \(n^2 = 1600\) ce qui correspond bien à la borne inférieure.
• Pour \(n = 50\) et \(n = -50\), \(n^2 = 2500\) ce qui correspond bien à la borne supérieure.

Chaque entier entre ces valeurs donnera un carré compris entre 1600 et 2500.

Conclusion

La réponse finale est :

\[ \boxed{n \in [-50, -40] \cup [40, 50]} \]

Cette solution montre toutes les étapes pour arriver à la conclusion, en expliquant clairement comment utiliser les racines carrées et la valeur absolue pour trouver les entiers recherchés.