Calculez les expressions suivantes :
Voici le résumé des réponses :
Voici la correction détaillée pour chacune des expressions :
Nous pouvons décomposer 4900 en un produit de carrés parfaits. En effet :
\[ 4900 = 49 \times 100 \]
Les deux facteurs \(49\) et \(100\) sont des carrés parfaits puisque :
\[ 49 = 7^2 \quad \text{et} \quad 100 = 10^2 \]
Ainsi, en utilisant la propriété \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\), nous avons :
\[ \sqrt{4900} = \sqrt{49 \times 100} = \sqrt{49} \times \sqrt{100} = 7 \times 10 = 70. \]
La réponse est donc : 70.
On écrit 0,027 sous forme fractionnaire ou en puissances :
\[ 0,027 = \frac{27}{1000}. \]
On remarque que :
\[ 27 = 3^3 \quad \text{et} \quad 1000 = 10^3. \]
Alors,
\[ \sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{\frac{3^3}{10^3}} = \frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{10^3}} = \frac{3}{10} = 0,3. \]
La réponse est donc : 0,3.
On factorise \(27000\) de façon à repérer des cubes parfaits. On a :
\[ 27000 = 27 \times 1000. \]
Or,
\[ 27 = 3^3 \quad \text{et} \quad 1000 = 10^3. \]
En utilisant la propriété de la racine cubique :
\[ \sqrt[3]{27000} = \sqrt[3]{27 \times 1000} = \sqrt[3]{3^3 \times 10^3} = \sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{10^3} = 3 \times 10 = 30. \]
La réponse est donc : 30.
Écrivons \(0,0009\) comme le produit d’un carré parfait et d’une puissance de dix :
\[ 0,0009 = 9 \times 10^{-4}. \]
Sachant que \(9 = 3^2\) et que \(10^{-4} = \left(10^{-2}\right)^2\), on peut écrire :
\[ 0,0009 = 3^2 \times (10^{-2})^2. \]
D’où, en appliquant la racine carrée :
\[ \sqrt{0,0009} = \sqrt{3^2 \times (10^{-2})^2} = 3 \times 10^{-2} = 3 \times 0,01 = 0,03. \]
La réponse est donc : 0,03.
Ici, 900 est un carré parfait car :
\[ 900 = 30^2. \]
Ainsi, directement :
\[ \sqrt{900} = 30. \]
La réponse est donc : 30.
On écrit \(0,008\) sous forme de fraction :
\[ 0,008 = \frac{8}{1000}. \]
Comme \(8 = 2^3\) et \(1000 = 10^3\), on a :
\[ \sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{2^3}{10^3}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{10^3}} = \frac{2}{10} = 0,2. \]
La réponse est donc : 0,2.
Exprimez \(0,000125\) sous forme de fraction ou en puissances de dix :
\[ 0,000125 = \frac{125}{1\,000\,000} \quad \text{ou} \quad 0,000125 = 125 \times 10^{-6}. \]
On remarque que :
\[ 125 = 5^3 \quad \text{et} \quad 1\,000\,000 = (10^3)^2 = 10^6. \]
Ainsi,
\[ \sqrt[3]{0,000125} = \sqrt[3]{\frac{5^3}{10^6}}. \]
Pour simplifier, on écrit \(10^6 = (10^2)^3\) car \((10^2)^3 = 10^6\). D’où :
\[ \sqrt[3]{0,000125} = \frac{\sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{(10^2)^3}} = \frac{5}{10^2} = \frac{5}{100} = 0,05. \]
La réponse est donc : 0,05.
Nous procédons de manière similaire à l’expression 4. On écrit :
\[ 0,000025 = 25 \times 10^{-6}. \]
Sachant que \(25 = 5^2\) et \(10^{-6} = \left(10^{-3}\right)^2\), on a :
\[ 0,000025 = 5^2 \times (10^{-3})^2. \]
La racine carrée de ce produit est :
\[ \sqrt{0,000025} = \sqrt{5^2 \times (10^{-3})^2} = 5 \times 10^{-3} = 5 \times 0,001 = 0,005. \]
La réponse est donc : 0,005.
Chaque étape a été décomposée pour que vous puissiez bien comprendre le raisonnement utilisé pour trouver la solution.