Exercice 12

Exercice

Calculer :

1. \(\sqrt[3]{729}\)
   
2. \(\sqrt[3]{64}\)
   
3. \(\sqrt[3]{64000}\)
   
4. \(\sqrt[3]{0,064}\)
   
5. \(\sqrt[3]{125000}\)
   
6. \(\sqrt[3]{0,000125}\)
   
7. \(\sqrt[3]{343}\)
   
8. \(\sqrt[3]{0,125}\)

Réponse

Les réponses sont : 9 ; 4 ; 40 ; 0,4 ; 50 ; 0,05 ; 7 ; 0,5.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de chaque question :

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1) Calculer \(\sqrt[3]{729}\)

Nous cherchons un nombre \(x\) tel que : \[ x^3 = 729. \] On sait par cœur que : \[ 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729. \] Donc, \[ \sqrt[3]{729} = 9. \]

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2) Calculer \(\sqrt[3]{64}\)

On cherche un nombre \(x\) tel que : \[ x^3 = 64. \] Or, \[ 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64. \] Ainsi, \[ \sqrt[3]{64} = 4. \]

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3) Calculer \(\sqrt[3]{64000}\)

Pour simplifier, on peut écrire \(64000\) comme le produit de deux cubes parfaits : \[ 64000 = 64 \times 1000. \] Nous savons que : \[ 64 = 4^3 \quad \text{et} \quad 1000 = 10^3. \] En utilisant la propriété de la racine cubique \(\sqrt[3]{a^3 \times b^3} = a \times b\), on a : \[ \sqrt[3]{64000} = \sqrt[3]{4^3 \times 10^3} = 4 \times 10 = 40. \]

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4) Calculer \(\sqrt[3]{0,064}\)

On peut réécrire \(0,064\) sous forme fractionnaire en notant que : \[ 0,064 = \frac{64}{1000}. \] Puisque \(64 = 4^3\) et \(1000 = 10^3\), alors : \[ 0,064 = \frac{4^3}{10^3}. \] En extrayant la racine cubique, on obtient : \[ \sqrt[3]{0,064} = \frac{4}{10} = 0,4. \]

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5) Calculer \(\sqrt[3]{125000}\)

Analysons \(125000\) en le décomposant : \[ 125000 = 125 \times 1000. \] On reconnaît : \[ 125 = 5^3 \quad \text{et} \quad 1000 = 10^3. \] Ainsi, \[ \sqrt[3]{125000} = \sqrt[3]{5^3 \times 10^3} = 5 \times 10 = 50. \]

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6) Calculer \(\sqrt[3]{0,000125}\)

On écrit \(0,000125\) sous forme de fraction : \[ 0,000125 = \frac{125}{1000000}. \] On remarque que : \[ 125 = 5^3 \quad \text{et} \quad 1000000 = 10^6. \] La racine cubique s’écrit donc : \[ \sqrt[3]{0,000125} = \sqrt[3]{\frac{5^3}{10^6}} = \frac{5}{\sqrt[3]{10^6}}. \] Sachant que \(\sqrt[3]{10^6} = 10^2 = 100\), nous avons : \[ \frac{5}{100} = 0,05. \]

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7) Calculer \(\sqrt[3]{343}\)

Nous cherchons \(x\) tel que : \[ x^3 = 343. \] Il est connu que : \[ 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343. \] Donc, \[ \sqrt[3]{343} = 7. \]

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8) Calculer \(\sqrt[3]{0,125}\)

Écrivons \(0,125\) en fraction : \[ 0,125 = \frac{125}{1000}. \] Ici, \[ 125 = 5^3 \quad \text{et} \quad 1000 = 10^3. \] En extrayant la racine cubique, nous obtenons : \[ \sqrt[3]{0,125} = \frac{5}{10} = 0,5. \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(\sqrt[3]{729} = 9\)
   
2. \(\sqrt[3]{64} = 4\)
   
3. \(\sqrt[3]{64000} = 40\)
   
4. \(\sqrt[3]{0,064} = 0,4\)
   
5. \(\sqrt[3]{125000} = 50\)
   
6. \(\sqrt[3]{0,000125} = 0,05\)
   
7. \(\sqrt[3]{343} = 7\)
   
8. \(\sqrt[3]{0,125} = 0,5\)

Chaque étape consiste à identifier les cubes parfaits cachés dans les nombres donnés et à appliquer la propriété de la racine cubique sur un produit de puissances. Cette méthode permet de simplifier les calculs et d’obtenir rapidement la réponse souhaitée.