Exercice 11

Calculer les expressions suivantes :

1. \(\sqrt[3]{1}\)
   
2. \(\sqrt[3]{8}\)
   
3. \(\sqrt[3]{1000}\)
   
4. \(\sqrt[3]{27}\)
   
5. \(\sqrt[3]{0,001}\)
   
6. \(\sqrt[3]{27000}\)
   
7. \(\sqrt[3]{0,008}\)
   
8. \(\sqrt[3]{125}\)

Réponse

Les réponses sont :
√3 = 1,
√3 = 2,
√3 = 10,
√3 = 3,
√3 = 0,1,
√3 = 30,
√3 = 0,2,
√3 = 5.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour chacune des expressions :

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1) Calcul de \(\sqrt[3]{1}\)

Pour trouver la racine cubique de 1, nous cherchons un nombre \(x\) tel que : \[ x^3 = 1 \] On sait que : \[ 1^3 = 1 \] Donc, \[ \sqrt[3]{1} = 1 \]

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2) Calcul de \(\sqrt[3]{8}\)

Nous cherchons le nombre \(x\) tel que : \[ x^3 = 8 \] On remarque que : \[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \] Par conséquent, \[ \sqrt[3]{8} = 2 \]

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3) Calcul de \(\sqrt[3]{1000}\)

Ici, nous cherchons \(x\) pour lequel : \[ x^3 = 1000 \] On peut remarquer que : \[ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \] Ainsi, \[ \sqrt[3]{1000} = 10 \]

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4) Calcul de \(\sqrt[3]{27}\)

Nous voulons trouver \(x\) tel que : \[ x^3 = 27 \] On connaît que : \[ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \] Donc, \[ \sqrt[3]{27} = 3 \]

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5) Calcul de \(\sqrt[3]{0,001}\)

Cherchons \(x\) tel que : \[ x^3 = 0,001 \] Il est souvent utile de convertir la décimale en fraction : \[ 0,001 = \frac{1}{1000} \] Comme \(10^3 = 1000\), on peut écrire : \[ \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001 \] Donc, \[ \sqrt[3]{0,001} = \frac{1}{10} = 0,1 \]

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6) Calcul de \(\sqrt[3]{27000}\)

Ici, nous cherchons \(x\) tel que : \[ x^3 = 27000 \] On tente avec \(x = 30\) : \[ 30^3 = 30 \times 30 \times 30 = 900 \times 30 = 27000 \] Ainsi, \[ \sqrt[3]{27000} = 30 \]

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7) Calcul de \(\sqrt[3]{0,008}\)

Nous cherchons un nombre \(x\) tel que : \[ x^3 = 0,008 \] Réécrivons \(0,008\) sous forme fractionnaire : \[ 0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{8}{10^3} \] Sachant que \(2^3 = 8\), nous avons : \[ \left(\frac{2}{10}\right)^3 = \frac{2^3}{10^3} = \frac{8}{1000} = 0,008 \] Ainsi, \[ \sqrt[3]{0,008} = \frac{2}{10} = 0,2 \]

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8) Calcul de \(\sqrt[3]{125}\)

Cherchons \(x\) tel que : \[ x^3 = 125 \] On observe que : \[ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \] Donc, \[ \sqrt[3]{125} = 5 \]

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Récapitulatif des résultats :

1. \(\sqrt[3]{1} = 1\)
   
2. \(\sqrt[3]{8} = 2\)
   
3. \(\sqrt[3]{1000} = 10\)
   
4. \(\sqrt[3]{27} = 3\)
   
5. \(\sqrt[3]{0,001} = 0,1\)
   
6. \(\sqrt[3]{27000} = 30\)
   
7. \(\sqrt[3]{0,008} = 0,2\)
   
8. \(\sqrt[3]{125} = 5\)

Chacune de ces étapes montre comment reconnaître la relation entre un nombre et son cube, facilitant ainsi le calcul de ces racines cubiques.