Calculer les expressions suivantes :
Voici la réponse résumée de l’exercice :
√0,16 = 0,4
√160000 = 400
√1 = 1
√10000 = 100
√0,0025 = 0,05
√2500 = 50
√90000 = 300
√0,0009 = 0,03
Voici une correction détaillée pour calculer chacune des expressions :
Pour calculer \(\sqrt{0,16}\), on peut écrire le nombre sous forme de fraction :
\[ 0,16=\frac{16}{100} \]
Ensuite, on utilise la propriété de la racine qui dit :
\[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]
Ainsi :
\[ \sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0,4. \]
Remarquons que :
\[ 160000 = 16 \times 10000. \]
On peut donc écrire :
\[ \sqrt{160000} = \sqrt{16 \times 10000} = \sqrt{16}\times \sqrt{10000}. \]
Or, \(\sqrt{16} = 4\) et \(\sqrt{10000} = 100\) car \(100^2=10000\).
Donc :
\[ \sqrt{160000} = 4 \times 100 = 400. \]
La racine carrée de 1 est évidente car :
\[ 1 \times 1 = 1. \]
Donc :
\[ \sqrt{1} = 1. \]
Connaissant que :
\[ 100 \times 100 = 10000, \]
on en déduit :
\[ \sqrt{10000} = 100. \]
On peut réécrire \(0,0025\) sous forme fractionnaire :
\[ 0,0025 = \frac{25}{10000}. \]
Ainsi :
\[ \sqrt{0,0025} = \sqrt{\frac{25}{10000}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{10000}} = \frac{5}{100} = 0,05. \]
On vérifie : \(0,05 \times 0,05 = 0,0025\).
On sait que :
\[ 50 \times 50 = 2500, \]
donc :
\[ \sqrt{2500} = 50. \]
De même, on remarque que :
\[ 300 \times 300 = 90000. \]
Donc :
\[ \sqrt{90000} = 300. \]
On exprime \(0,0009\) comme fraction :
\[ 0,0009 = \frac{9}{10000}. \]
Appliquons la propriété de la racine :
\[ \sqrt{0,0009} = \sqrt{\frac{9}{10000}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10000}} = \frac{3}{100} = 0,03. \]
Vérification : \(0,03 \times 0,03 = 0,0009\).
Chaque étape repose sur l’utilisation des propriétés des racines carrées et la décomposition des nombres en facteurs connus. Cette méthode permet de simplifier le calcul et de vérifier aisément les résultats.