Exercice 5

Sans utiliser de calculatrice, calcule ou estime : a) \(\sqrt{17}=\)
b) \(\sqrt{144}=\)
c) \(\sqrt{200}=\)
d) \(\sqrt{2401}=\)

Réponse

Réponses :
√17 ≈ 4,12 ;
√144 = 12 ;
√200 = 10√2 ;
√2401 = 49.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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a) Calcul de \(\sqrt{17}\)

1. Observation des carrés parfaits proches :
   On sait que
   \[ 4^2 = 16 \quad \text{et} \quad 5^2 = 25. \] Comme \(16 < 17 < 25\), on conclut que
   \[ 4 < \sqrt{17} < 5. \]

2. Estimation :
   Même sans calculatrice, on peut estimer que \(\sqrt{17}\) est un peu plus grand que 4. Par expérience, on sait que la valeur exacte est environ \(4,12\).
   Ainsi, on peut écrire :
   \[ \sqrt{17} \approx 4,12. \]

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b) Calcul de \(\sqrt{144}\)

1. Reconnaissance du carré parfait :
   On connaît par cœur le carré de 12 :
   \[ 12^2 = 144. \]

2. Conclusion :
   Donc,
   \[ \sqrt{144} = 12. \]

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c) Calcul de \(\sqrt{200}\)

1. Factorisation sous forme de produit :
   On peut écrire \(200\) sous la forme \(100 \times 2\) car \(100\) est un carré parfait.
   \[ 200 = 100 \times 2. \]

2. Utilisation des propriétés de la racine carrée :
   La propriété \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) permet d’écrire :
   \[ \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2}. \]

3. Calcul final :
   Puisque \(\sqrt{100} = 10\), on obtient :
   \[ \sqrt{200} = 10\sqrt{2}. \]

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d) Calcul de \(\sqrt{2401}\)

1. Recherche d’un carré parfait proche :
   On se rappelle que \(49^2 = 2401\) car :
   \[ 49 \times 49 = 2401. \]

2. Conclusion :
   Donc,
   \[ \sqrt{2401} = 49. \]

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Récapitulatif des résultats

• \(\sqrt{17} \approx 4,12\)
• \(\sqrt{144} = 12\)
• \(\sqrt{200} = 10\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{2401} = 49\)

Cette correction présente les différentes étapes et raisonnements utilisés pour arriver aux réponses sans utiliser de calculatrice.