Exercice 4

Encadrez chacun des nombres suivants par deux entiers consécutifs.

Exemple :
\[ 6 < \sqrt{41} < 7 \]

1. \[\sqrt{45}\]
   
2. \[\sqrt[3]{28}\]
   
3. \[\sqrt{0,3}\]
   
4. \[\sqrt{380}\]
   
5. \[\sqrt[3]{200}\]
   
6. \[\sqrt[3]{19,8}\]
   
7. \[\sqrt{1225}\]
   
8. \[\sqrt{980}\]
   
9. \[\sqrt{2704}\]
   
10. \[\sqrt[3]{900}\]

Réponse

1. 6 < √45 < 7
   
2. 3 < ∛28 < 4
   
3. 0 < √0,3 < 1
   
4. 19 < √380 < 20
   
5. 5 < ∛200 < 6
   
6. 2 < ∛19,8 < 3
   
7. 35 ≤ √1225 < 36
   
8. 31 < √980 < 32
   
9. 52 ≤ √2704 < 53
   
10. 9 < ∛900 < 10

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour encadrer chacun des nombres par deux entiers consécutifs :

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a) Encadrer \(\sqrt{45}\)

1. Identifier les carrés proches :
   On connaît : \[ 6^2 = 36 \quad \text{et} \quad 7^2 = 49 \]
2. Comparer avec 45 :
   Puisque \(36 < 45 < 49\), on a : \[ 6 < \sqrt{45} < 7 \]

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b) Encadrer \(\sqrt[3]{28}\)

1. Identifier les cubes proches :
   On a : \[ 3^3 = 27 \quad \text{et} \quad 4^3 = 64 \]
2. Comparer avec 28 :
   Comme \(27 < 28 < 64\), alors : \[ 3 < \sqrt[3]{28} < 4 \]

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c) Encadrer \(\sqrt{0,3}\)

1. Identifier les carrés proches :
   On sait que : \[ 0^2 = 0 \quad \text{et} \quad 1^2 = 1 \]
2. Comparer avec 0,3 :
   Étant donné que \(0 < 0,3 < 1\), il s’ensuit que : \[ 0 < \sqrt{0,3} < 1 \]

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d) Encadrer \(\sqrt{380}\)

1. Identifier les carrés proches :
   On calcule : \[ 19^2 = 361 \quad \text{et} \quad 20^2 = 400 \]
2. Comparer avec 380 :
   Puisque \(361 < 380 < 400\), on en déduit : \[ 19 < \sqrt{380} < 20 \]

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e) Encadrer \(\sqrt[3]{200}\)

1. Identifier les cubes proches :
   On remarque : \[ 5^3 = 125 \quad \text{et} \quad 6^3 = 216 \]
2. Comparer avec 200 :
   Comme \(125 < 200 < 216\), alors : \[ 5 < \sqrt[3]{200} < 6 \]

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f) Encadrer \(\sqrt[3]{19,8}\)

1. Identifier les cubes proches :
   On a : \[ 2^3 = 8 \quad \text{et} \quad 3^3 = 27 \]
2. Comparer avec 19,8 :
   Puisque \(8 < 19,8 < 27\), on conclut : \[ 2 < \sqrt[3]{19,8} < 3 \]

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g) Encadrer \(\sqrt{1225}\)

1. Identifier le carré exact :
   On constate que : \[ 35^2 = 1225 \]
2. Interprétation de l’encadrement :
   La racine carrée est exactement 35. Pour encadrer par deux entiers consécutifs, on peut écrire : \[ 35 \leq \sqrt{1225} < 36 \] (On note que, comme \(\sqrt{1225} = 35\), la borne inférieure est égale à la valeur.)

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h) Encadrer \(\sqrt{980}\)

1. Identifier les carrés proches :
   On a : \[ 31^2 = 961 \quad \text{et} \quad 32^2 = 1024 \]
2. Comparer avec 980 :
   Comme \(961 < 980 < 1024\), il s’ensuit que : \[ 31 < \sqrt{980} < 32 \]

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i) Encadrer \(\sqrt{2704}\)

1. Identifier le carré exact :
   On remarque que : \[ 52^2 = 2704 \]
2. Interprétation de l’encadrement :
   Puisque la racine carrée vaut exactement 52, on peut encadrer en écrivant : \[ 52 \leq \sqrt{2704} < 53 \]

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j) Encadrer \(\sqrt[3]{900}\)

1. Identifier les cubes proches :
   On utilise : \[ 9^3 = 729 \quad \text{et} \quad 10^3 = 1000 \]
2. Comparer avec 900 :
   Puisque \(729 < 900 < 1000\), alors : \[ 9 < \sqrt[3]{900} < 10 \]

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Ces encadrements permettent de situer chaque nombre entre deux entiers consécutifs. Chaque étape repose sur la comparaison du nombre donné avec des puissances entières connues (carrés ou cubes) afin de trouver les bornes appropriées.