Exercice 3

Exercice :

Calculez les expressions suivantes :

1. \(\sqrt{784} =\)
   
2. \(\sqrt{14400} =\)
   
3. \(\sqrt{0,36} =\)
   
4. \(\sqrt{10^{4}} =\)
   
5. \(\sqrt{\frac{9}{16}} =\)
   
6. \(\sqrt{5625} =\)
   
7. \(\sqrt{0,49} =\)
   
8. \(\sqrt{4} =\)
   
9. \(\sqrt{16 \cdot 36} =\)
   
10. \(\sqrt[3]{27000} =\)

Réponse

Réponses : a) 28, b) 120, c) 0,6, d) 100, e) 3/4, f) 75, g) 0,7, h) 2, i) 24, j) 30.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chaque expression en détaillant les étapes et en utilisant les propriétés des racines.

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a) \(\sqrt{784}\)

1. Pour trouver \(\sqrt{784}\), on cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 784.
2. On sait que \(28^2 = 784\).
3. Ainsi, \(\sqrt{784} = 28\).

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b) \(\sqrt{14400}\)

1. On cherche un nombre \(x\) tel que \(x^2 = 14400\).
2. On remarque que \(120^2 = 14400\).
3. Par conséquent, \(\sqrt{14400} = 120\).

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c) \(\sqrt{0,36}\)

1. Transformer la virgule en point (la notation décimale) : \(0,36 = 0.36\).
2. On cherche un nombre \(x\) tel que \(x^2 = 0.36\).
3. On constate que \(0.6^2 = 0.36\).
4. Donc, \(\sqrt{0,36} = 0,6\).

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d) \(\sqrt{10^{4}}\)

1. On peut exprimer \(10^4 = 10000\).
2. On sait que \(\sqrt{10^{4}} = 10^{\frac{4}{2}} = 10^2\) car \(\sqrt{a^2} = a\) pour \(a \geq 0\).
3. Ainsi, \(10^2 = 100\).
4. Donc, \(\sqrt{10^{4}} = 100\).

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e) \(\sqrt{\frac{9}{16}}\)

1. Pour une fraction sous la racine, on peut utiliser la propriété \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) avec \(a, b > 0\).
2. Ici, \(\sqrt{9} = 3\) et \(\sqrt{16} = 4\).
3. Par conséquent, \(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\).

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f) \(\sqrt{5625}\)

1. Cherchons un nombre \(x\) tel que \(x^2 = 5625\).
2. En effectuant quelques essais, on trouve que \(75^2 = 5625\).
3. Ainsi, \(\sqrt{5625} = 75\).

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g) \(\sqrt{0,49}\)

1. On écrit \(0,49\) sous forme décimale : \(0,49 = 0.49\).
2. On cherche \(x\) tel que \(x^2 = 0.49\).
3. On observe que \(0.7^2 = 0.49\).
4. Donc, \(\sqrt{0,49} = 0,7\).

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h) \(\sqrt{4}\)

1. On sait que \(2^2 = 4\).
2. Ainsi, \(\sqrt{4} = 2\).

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i) \(\sqrt{16 \cdot 36}\)

1. D’abord, calculons le produit : \(16 \cdot 36 = 576\).
2. On cherche alors un nombre \(x\) tel que \(x^2 = 576\).
3. On remarque que \(24^2 = 576\) (car \(24 \times 24 = 576\)).
4. Par conséquent, \(\sqrt{16 \cdot 36} = 24\).

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j) \(\sqrt[3]{27000}\)

1. La racine cubique \(\sqrt[3]{a}\) est le nombre \(x\) tel que \(x^3 = a\).
2. Cherchons \(x\) tel que \(x^3 = 27000\).
3. En vérifiant, on trouve que \(30^3 = 30 \times 30 \times 30 = 27000\).
4. Ainsi, \(\sqrt[3]{27000} = 30\).

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Récapitulatif des réponses

• 1. \(\sqrt{784} = 28\)
• 2. \(\sqrt{14400} = 120\)
• 3. \(\sqrt{0,36} = 0,6\)
• 4. \(\sqrt{10^{4}} = 100\)
• 5. \(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\)
• 6. \(\sqrt{5625} = 75\)
• 7. \(\sqrt{0,49} = 0,7\)
• 8. \(\sqrt{4} = 2\)
• 1. \(\sqrt{16 \cdot 36} = 24\)
• 10. \(\sqrt[3]{27000} = 30\)

Chaque étape repose sur l’identification du nombre qui, élevé à la puissance correspondante, redonne l’expression de départ. Cette méthode est souvent utilisée pour extraire une racine carrée ou cubique.