Exercice
Calculez ou répondez aux questions suivantes :
Quel nombre a pour carré 1 600 ?
Calculez \(4^2\).
Quelle est la valeur de \(\sqrt{49}\) ? Et celle de \(\sqrt[3]{27}\) ?
Calculez \(\sqrt{225}\).
Calculez \(\left(-\frac{4}{3}\right)^2\).
Justifiez que \(\sqrt{2,25} = 1,5\).
Existe-t-il un nombre dont le carré vaut \(-25\) ?
Calculez \(\sqrt{0}\).
Calculez \(\sqrt[3]{-216}\).
Peut-on extraire la racine carrée de \(-9\) ?
Calculez \(-\frac{4^2}{5}\).
Calculez \(\sqrt{9}\).
Calculez \(-\sqrt{64}\).
Calculez \(\sqrt{20}\).
Quel nombre a pour carré \(15^2\) ?
Voici le résumé très court des réponses :
Voici la correction détaillée de chaque question :
a) Quel nombre a pour carré 1 600 ?
Pour trouver le nombre dont le carré est 1 600, nous cherchons le nombre
positif \(x\) tel que
\[
x^2 = 1600.
\]
On sait que
\[
40^2 = 40 \times 40 = 1600.
\]
Donc, le nombre cherché est 40.
b) Calculez \(4^2\).
L’exposant 2 signifie qu’on multiplie 4 par lui-même :
\[
4^2 = 4 \times 4 = 16.
\]
La réponse est donc 16.
c) Quelle est la valeur de \(\sqrt{49}\) ? Et celle de \(\sqrt[3]{27}\) ?
1. Pour \(\sqrt{49}\) :
On cherche le nombre positif \(y\) tel
que
\[
y^2 = 49.
\]
Puisque \(7^2 = 49\), on a
\[
\sqrt{49} = 7.
\]
Les réponses sont 7 et 3 respectivement.
d) Calculez \(\sqrt{225}\).
On cherche un nombre \(t\) tel
que
\[
t^2 = 225.
\]
On sait que \(15^2 = 225\).
Ainsi,
\[
\sqrt{225} = 15.
\]
La réponse est 15.
e) Calculez \(\left(-\frac{4}{3}\right)^2\).
Pour élever le nombre \(-\frac{4}{3}\)
au carré, on élève séparément le numérateur et le dénominateur :
\[
\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9}.
\]
La bonne réponse est \(\frac{16}{9}\).
f) Justifiez que \(\sqrt{2,25} =
1,5\).
Pour justifier ce résultat, calculons le carré de 1,5 :
\[
1,5 \times 1,5 = 2,25.
\]
Puisque le carré de 1,5 est bien 2,25, on a
\[
\sqrt{2,25} = 1,5.
\]
La justification repose sur le fait que \(1,5^2 = 2,25\).
g) Existe-t-il un nombre dont le carré vaut \(-25\) ?
Dans l’ensemble des nombres réels, le carré d’un nombre est toujours
positif (ou nul).
Puisque \(-25\) est un nombre négatif,
il n’existe aucun nombre réel tel que son carré soit
\(-25\).
h) Calculez \(\sqrt{0}\).
La racine carrée de 0 est le nombre positif qui, élevé au carré, donne
0. Or,
\[
0^2 = 0.
\]
Donc,
\[
\sqrt{0} = 0.
\]
i) Calculez \(\sqrt[3]{-216}\).
Pour la racine cubique, nous cherchons un nombre \(u\) tel que
\[
u^3 = -216.
\]
On remarque que
\[
(-6)^3 = -6 \times -6 \times -6 = -216.
\]
Ainsi,
\[
\sqrt[3]{-216} = -6.
\]
j) Peut-on extraire la racine carrée de \(-9\) ?
La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans l’ensemble
des nombres réels.
Il est donc impossible d’extraire la racine carrée de
\(-9\) dans \(\mathbb{R}\).
k) Calculez \(-\frac{4^2}{5}\).
D’abord, calculons \(4^2\) :
\[
4^2 = 16.
\]
Ensuite, on remplace dans l’expression :
\[
-\frac{16}{5}.
\]
La réponse est \(-\frac{16}{5}\).
l) Calculez \(\sqrt{9}\).
Cherchons le nombre \(v\) tel que
\[
v^2 = 9.
\]
Comme \(3^2 = 9\), nous avons
\[
\sqrt{9} = 3.
\]
La réponse est 3.
m) Calculez \(-\sqrt{64}\).
D’abord, calculez \(\sqrt{64}\) :
\[
\sqrt{64} = 8 \quad \text{(car } 8^2 = 64\text{)}.
\]
Ensuite, en ajoutant le signe négatif :
\[
-\sqrt{64} = -8.
\]
La réponse est \(-8\).
n) Calculez \(\sqrt{20}\).
Pour simplifier \(\sqrt{20}\), on
cherche un facteur carré. Vérifions :
\[
20 = 4 \times 5 \quad \text{et} \quad 4 \text{ est un carré parfait.}
\]
Ainsi,
\[
\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4}\times\sqrt{5} = 2\sqrt{5}.
\]
La réponse est \(2\sqrt{5}\).
o) Quel nombre a pour carré \(15^2\) ?
On calcule d’abord \(15^2\) :
\[
15^2 = 225.
\]
Puis, on cherche le nombre positif tel que son carré soit 225. Comme
nous avons déjà établi que
\[
15^2 = 225,
\]
le nombre est 15.
Cette correction détaillée devrait vous permettre de comprendre chaque étape et la logique derrière chaque calcul.