Exercice 76

Exercice

On considère une balle qui rebondit à 25 % de la hauteur atteinte après chaque chute. Lors de son troisième rebond, la balle atteint une hauteur de 16 cm. Déterminez la hauteur du balcon à partir duquel la balle a été lâchée.

Réponse

La hauteur initiale du balcon est de 1024 cm.

Corrigé détaillé

Nous cherchons la hauteur initiale \(H\) du balcon d’où la balle a été lâchée.

Étape 1 : Modélisation du problème

La balle rebondit à 25 % de la hauteur atteinte à chaque chute. Ainsi, on obtient :

• Après le premier rebond, la hauteur atteinte est :
  \[ H_1 = 0,25 \times H \]
• Après le deuxième rebond, la hauteur atteinte est :
  \[ H_2 = 0,25 \times H_1 = 0,25^2 \times H \]
• Après le troisième rebond, la hauteur atteinte est :
  \[ H_3 = 0,25 \times H_2 = 0,25^3 \times H \]

On nous donne que \(H_3 = 16\) cm.

Étape 2 : Mise en équation

D’après le modèle, nous avons : \[ 0,25^3 \times H = 16 \]

Calculons \(0,25^3\) :

\[ 0,25^3 = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} \]

L’équation devient alors : \[ \frac{1}{64} \times H = 16 \]

Étape 3 : Résolution de l’équation

Pour isoler \(H\), on multiplie les deux côtés de l’équation par 64 : \[ H = 16 \times 64 \] \[ H = 1024 \text{ cm} \]

Étape 4 : Conclusion

La hauteur du balcon à partir duquel la balle a été lâchée est de :

\[ \boxed{1024 \text{ cm}} \]

En d’autres termes, le balcon se trouve à 1024 cm du sol.