Exercice 75

Calculer les expressions suivantes :

1. \(a \cdot a \cdot a\)
   
2. \(a \cdot \left(a^{2}\right)\)
   
3. \(\left(3 x^{2}\right) \cdot x\)
   
4. \(x^{2} \cdot (5 x)\)
   
5. \(a \cdot 4a^{2}\)

Réponse

Réponse courte :

1. a · a · a = a³
   
2. a · a² = a³
   
3. (3x²) · x = 3x³
   
4. x² · (5x) = 5x³
   
5. a · 4a² = 4a³

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée des exercices :

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Expression 1 : \(a \cdot a \cdot a\)

Étape 1 : On remarque que chaque facteur est \(a\).
Étape 2 : Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants.
Étape 3 : On écrit chaque \(a\) comme \(a^1\). Ainsi,
\[ a \cdot a \cdot a = a^1 \cdot a^1 \cdot a^1 = a^{1+1+1} = a^3. \]

Résultat :
\[ a \cdot a \cdot a = a^3. \]

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Expression 2 : \(a \cdot \left(a^{2}\right)\)

Étape 1 : Ici, on a \(a\) et \(a^2\).
Étape 2 : On écrit \(a\) sous forme de puissance : \(a = a^1\).
Étape 3 : On utilise la règle des puissances qui dit que \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ a \cdot a^2 = a^1 \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3. \]

Résultat :
\[ a \cdot a^2 = a^3. \]

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Expression 3 : \(\left(3 x^{2}\right) \cdot x\)

Étape 1 : On réécrit \(x\) sous forme de puissance : \(x = x^1\).
Étape 2 : On regroupe le coefficient \(3\) et la variable \(x\) séparément.
Étape 3 : En multipliant \(x^2\) et \(x^1\) on ajoute les exposants :
\[ 3 x^2 \cdot x = 3 x^2 \cdot x^1 = 3 x^{2+1} = 3 x^3. \]

Résultat :
\[ \left(3 x^{2}\right) \cdot x = 3 x^3. \]

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Expression 4 : \(x^{2} \cdot (5 x)\)

Étape 1 : Réécrire \(5 x\) en séparant le coefficient et la variable, et écrire \(x\) comme \(x^1\).
Étape 2 : Appliquer la règle pour multiplier des puissances de \(x\) :
\[ x^2 \cdot (5x) = x^2 \cdot 5x^1 = 5 \cdot x^{2+1} = 5x^3. \]

Résultat :
\[ x^{2} \cdot (5 x) = 5x^3. \]

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Expression 5 : \(a \cdot 4a^{2}\)

Étape 1 : Identifier les coefficients et les puissances de \(a\). Le terme \(a\) est équivalent à \(a^1\) et le coefficient est implicite (1).
Étape 2 : Regrouper les coefficients et appliquer la règle sur les puissances :
\[ a \cdot 4a^2 = (1 \cdot 4)(a^1 \cdot a^2) = 4 a^{1+2} = 4a^3. \]

Résultat :
\[ a \cdot 4a^{2} = 4a^3. \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(a \cdot a \cdot a = a^3\)
   
2. \(a \cdot \left(a^{2}\right) = a^3\)
   
3. \(\left(3 x^{2}\right) \cdot x = 3 x^3\)
   
4. \(x^{2} \cdot (5 x) = 5x^3\)
   
5. \(a \cdot 4a^{2} = 4a^3\)

Chacune des étapes a utilisé la règle fondamentale sur la multiplication des puissances avec une même base : ajouter les exposants. Cette méthode permet de simplifier efficacement ces expressions.