Exercice 74

Exercice

Calculer la valeur de \(a^3b^2\) dans chacun des cas suivants :

\(a = \frac{4}{5}\) et \(b = -5\).
\(a = -\frac{3}{4}\) et \(b = 0\).
\(a = -\frac{1}{3}\) et \(b = -\frac{1}{4}\).
\(a = 2\) et \(b = -\frac{5}{2}\).

Réponse

Réponses : 1. 64/5
2. 0
3. -1/432
4. 50

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

Exercice : Calculer la valeur de \(a^3b^2\) dans chacun des cas suivants :

\(a = \dfrac{4}{5}\) et \(b = -5\).
\(a = -\dfrac{3}{4}\) et \(b = 0\).
\(a = -\dfrac{1}{3}\) et \(b = -\dfrac{1}{4}\).
\(a = 2\) et \(b = -\dfrac{5}{2}\).

1. Cas où \(a = \dfrac{4}{5}\) et \(b = -5\)

Nous devons calculer : \[ a^3b^2 = \left(\dfrac{4}{5}\right)^3 \times (-5)^2. \]

Étape 1 : Calcul de \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\)
On élève le numérateur et le dénominateur au cube : \[ \left(\dfrac{4}{5}\right)^3 = \dfrac{4^3}{5^3} = \dfrac{64}{125}. \]

Étape 2 : Calcul de \((-5)^2\)
Le carré d’un nombre négatif est positif : \[ (-5)^2 = 25. \]

Étape 3 : Multiplication des deux résultats
On multiplie : \[ a^3b^2 = \dfrac{64}{125} \times 25. \] On peut simplifier en reconnaissant que \(25\) divise \(125\) puisque \(125 = 5 \times 25\) : \[ \dfrac{64}{125} \times 25 = \dfrac{64 \times 25}{125} = \dfrac{64}{5}. \]

Résultat du cas 1 : \[ \boxed{\dfrac{64}{5}} \]

2. Cas où \(a = -\dfrac{3}{4}\) et \(b = 0\)

Nous devons calculer : \[ a^3b^2 = \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \times 0^2. \]

Remarque importante :
Quel que soit le résultat de \(a^3\), le produit sera nul car \(0^2 = 0\).

Calculs : \[ a^3b^2 = \left(-\dfrac{3}{4}\right)^3 \times 0 = \text{(quelque chose)} \times 0 = 0. \]

Résultat du cas 2 : \[ \boxed{0} \]

3. Cas où \(a = -\dfrac{1}{3}\) et \(b = -\dfrac{1}{4}\)

Nous devons calculer : \[ a^3b^2 = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^2. \]

Étape 1 : Calcul de \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3\)
Puisque la puissance est impaire, le résultat conserve le signe négatif : \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = -\dfrac{1^3}{3^3} = -\dfrac{1}{27}. \]

Étape 2 : Calcul de \(\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2\)
Ici, la puissance est paire, le signe devient positif : \[ \left(-\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16}. \]

Étape 3 : Multiplication des deux résultats
\[ a^3b^2 = \left(-\dfrac{1}{27}\right) \times \dfrac{1}{16} = -\dfrac{1}{27 \times 16} = -\dfrac{1}{432}. \]

Résultat du cas 3 : \[ \boxed{-\dfrac{1}{432}} \]

4. Cas où \(a = 2\) et \(b = -\dfrac{5}{2}\)

Nous devons calculer : \[ a^3b^2 = 2^3 \times \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2. \]

Étape 1 : Calcul de \(2^3\)
\[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \]

Étape 2 : Calcul de \(\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2\)
Puisque la puissance est paire, le signe devient positif : \[ \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{5^2}{2^2} = \dfrac{25}{4}. \]

Étape 3 : Multiplication des deux résultats
\[ a^3b^2 = 8 \times \dfrac{25}{4}. \] On peut simplifier : \(8 \div 4 = 2\), donc : \[ a^3b^2 = 2 \times 25 = 50. \]

Résultat du cas 4 : \[ \boxed{50} \]

Récapitulatif des réponses

Pour \(a = \dfrac{4}{5}\) et \(b = -5\) : \(\dfrac{64}{5}\).
Pour \(a = -\dfrac{3}{4}\) et \(b = 0\) : \(0\).
Pour \(a = -\dfrac{1}{3}\) et \(b = -\dfrac{1}{4}\) : \(-\dfrac{1}{432}\).
Pour \(a = 2\) et \(b = -\dfrac{5}{2}\) : \(50\).

Chaque étape a été développée pour vous permettre de comprendre le raisonnement et les opérations effectuées pour obtenir ces résultats.