Exercice 73
Exercice
Calculer les expressions suivantes :
- \(\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
- \(\left(\frac{1}{10}\right)^3\)
- \(\left(\frac{2}{5}\right)^4\)
- \(\left(\frac{1}{6}\right)^3\)
- \(\left(\frac{5}{4}\right)^3\)
- \(\left(\frac{10}{3}\right)^3\)
- \(\left(\frac{4}{3}\right)^3\)
- \(\left(\frac{3}{5}\right)^5\)
Réponse
En appliquant la formule (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, on obtient :
- (2/3)⁴ = 16/81
- (1/10)³ = 1/1000
- (2/5)⁴ = 16/625
- (1/6)³ = 1/216
- (5/4)³ = 125/64
- (10/3)³ = 1000/27
- (4/3)³ = 64/27
- (3/5)⁵ = 243/3125
Corrigé détaillé
Nous allons appliquer la propriété suivante pour élever une fraction
à une puissance :
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
\] pour tout entier \(n\).
Nous allons maintenant calculer chacune des expressions :
1. Calcul de \(\left(\frac{2}{3}\right)^4\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4}
\]
- Calculer \(2^4\) : \[
2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16
\]
- Calculer \(3^4\) : \[
3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}
\]
2. Calcul de \(\left(\frac{1}{10}\right)^3\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1^3}{10^3}
\]
- Calculer \(1^3\) : \[
1^3 = 1
\]
- Calculer \(10^3\) : \[
10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000}
\]
3. Calcul de \(\left(\frac{2}{5}\right)^4\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{2^4}{5^4}
\]
- Nous avons déjà calculé \(2^4 =
16\).
- Calculer \(5^4\) : \[
5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625}
\]
4. Calcul de \(\left(\frac{1}{6}\right)^3\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1^3}{6^3}
\]
- Nous avons \(1^3 = 1\).
- Calculer \(6^3\) : \[
6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}
\]
5. Calcul de \(\left(\frac{5}{4}\right)^3\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{5}{4}\right)^3 = \frac{5^3}{4^3}
\]
- Calculer \(5^3\) : \[
5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125
\]
- Calculer \(4^3\) : \[
4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{5}{4}\right)^3 = \frac{125}{64}
\]
6. Calcul de \(\left(\frac{10}{3}\right)^3\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{10}{3}\right)^3 = \frac{10^3}{3^3}
\]
- Calculer \(10^3\) : \[
10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000
\]
- Calculer \(3^3\) : \[
3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{10}{3}\right)^3 = \frac{1000}{27}
\]
7. Calcul de \(\left(\frac{4}{3}\right)^3\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{4^3}{3^3}
\]
- Calculer \(4^3\) : \[
4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64
\]
- \(3^3 = 27\) comme calculé
précédemment.
- Ainsi : \[
\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}
\]
8. Calcul de \(\left(\frac{3}{5}\right)^5\)
- Appliquer la formule : \[
\left(\frac{3}{5}\right)^5 = \frac{3^5}{5^5}
\]
- Calculer \(3^5\) : \[
3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243
\]
- Calculer \(5^5\) : \[
5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 3125
\]
- Ainsi : \[
\left(\frac{3}{5}\right)^5 = \frac{243}{3125}
\]
Récapitulatif des résultats
- \(\left(\frac{2}{3}\right)^4 =
\frac{16}{81}\)
- \(\left(\frac{1}{10}\right)^3 =
\frac{1}{1000}\)
- \(\left(\frac{2}{5}\right)^4 =
\frac{16}{625}\)
- \(\left(\frac{1}{6}\right)^3 =
\frac{1}{216}\)
- \(\left(\frac{5}{4}\right)^3 =
\frac{125}{64}\)
- \(\left(\frac{10}{3}\right)^3 =
\frac{1000}{27}\)
- \(\left(\frac{4}{3}\right)^3 =
\frac{64}{27}\)
- \(\left(\frac{3}{5}\right)^5 =
\frac{243}{3125}\)
Chaque étape a consisté à appliquer la règle des puissances sur une
fraction, puis à calculer séparément les puissances du numérateur et du
dénominateur. Cette méthode simple permet d’obtenir le résultat
rapidement et correctement.