Calculer les puissances suivantes :
Réponses : (2/3)² = 4/9, (1/2)³ = 1/8, (6/7)² = 36/49, (9/5)² = 81/25, (3/2)³ = 27/8, (5/6)² = 25/36, (3/10)³ = 27/1000, (2/7)² = 4/49.
Voici la correction détaillée pour chaque puissance demandée :
Étape 1 : Identifier l’opération : on élève \(\frac{2}{3}\) au carré.
Étape 2 : Utiliser la propriété des puissances pour une
fraction :
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}
\]
Ici, \(a = 2\) et \(b = 3\).
Étape 3 : Calculer les numérateurs et dénominateurs
séparément :
\[
2^2 = 4 \quad \text{et} \quad 3^2 = 9
\]
Étape 4 : Ecrire le résultat :
\[
\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]
Étape 1 : Identifier l’opération : on élève \(\frac{1}{2}\) au cube.
Étape 2 : Appliquer la formule :
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3}
\]
Étape 3 : Calculer séparément :
\[
1^3 = 1 \quad \text{et} \quad 2^3 = 8
\]
Étape 4 : Résulter :
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\]
Étape 1 : Écrire l’opération :
\[
\left(\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{6^2}{7^2}
\]
Étape 2 : Calculer chaque partie :
\[
6^2 = 36 \quad \text{et} \quad 7^2 = 49
\]
Étape 3 : Résultat final :
\[
\left(\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{36}{49}
\]
Étape 1 : Exprimer sous la forme d’une puissance
:
\[
\left(\frac{9}{5}\right)^2 = \frac{9^2}{5^2}
\]
Étape 2 : Calculer les carrés :
\[
9^2 = 81 \quad \text{et} \quad 5^2 = 25
\]
Étape 3 : Écrire la fraction obtenue :
\[
\left(\frac{9}{5}\right)^2 = \frac{81}{25}
\]
Étape 1 : Appliquer la définition de la puissance
:
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3}
\]
Étape 2 : Calculer les puissances :
\[
3^3 = 27 \quad \text{et} \quad 2^3 = 8
\]
Étape 3 : Ecrire le résultat final :
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}
\]
Étape 1 : Réécrire la puissance de la fraction
:
\[
\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{5^2}{6^2}
\]
Étape 2 : Calculer les numérateurs et dénominateurs
:
\[
5^2 = 25 \quad \text{et} \quad 6^2 = 36
\]
Étape 3 : Mettre ensemble les résultats :
\[
\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}
\]
Étape 1 : Identifier l’opération :
\[
\left(\frac{3}{10}\right)^3 = \frac{3^3}{10^3}
\]
Étape 2 : Calculer séparément les puissances :
\[
3^3 = 27 \quad \text{et} \quad 10^3 = 1000
\]
Étape 3 : Rassembler le tout :
\[
\left(\frac{3}{10}\right)^3 = \frac{27}{1000}
\]
Étape 1 : Ecrire l’opération :
\[
\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{2^2}{7^2}
\]
Étape 2 : Calculer les puissances :
\[
2^2 = 4 \quad \text{et} \quad 7^2 = 49
\]
Étape 3 : Donner le résultat final :
\[
\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}
\]
Chaque calcul a été réalisé en appliquant la même règle : on élève chaque fraction à la puissance donnée en élevant separément le numérateur et le dénominateur à cette puissance.