Exercice 70

Exercice

Trouver, lorsqu’il est possible, le ou les nombres \(x\) vérifiant les équations suivantes :

1. \(x^3 - 5^2 = 2\)
   
2. \(x^3 - 4^3 = -72\)
   
3. \((-11)^2 - x^2 = 21\)
   
4. \(8^3 - x^5 = 269\)
   
5. \((-5)^2 + x^5 = -218\)
   
6. \((x - 5)^3 = 64\)
   
7. \((7 - x)^2 = 81\)
   
8. \((-8 - x)^3 = -27\)

Réponse

1. x = 3
   
2. x = -2
   
3. x = 10 ou x = -10
   
4. x = 3
   
5. x = -3
   
6. x = 9
   
7. x = -2 ou x = 16
   
8. x = -5

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque équation :

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1) \(x^3 - 5^2 = 2\)

1. Calculer \(5^2\)
   \[ 5^2 = 25 \]
2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient :
   \[ x^3 - 25 = 2 \]
3. Isoler \(x^3\)
   Ajouter 25 aux deux côtés :
   \[ x^3 = 2 + 25 = 27 \]
4. Extraire la racine cubique
   \[ x = \sqrt[3]{27} = 3 \]

Solution : \(x = 3\)

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2) \(x^3 - 4^3 = -72\)

1. Calculer \(4^3\)
   \[ 4^3 = 64 \]
2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient :
   \[ x^3 - 64 = -72 \]
3. Isoler \(x^3\)
   Ajouter 64 aux deux côtés :
   \[ x^3 = -72 + 64 = -8 \]
4. Extraire la racine cubique
   \[ x = \sqrt[3]{-8} = -2 \]

Solution : \(x = -2\)

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3) \((-11)^2 - x^2 = 21\)

1. Calculer \((-11)^2\)
   \[ (-11)^2 = 121 \]
2. Remplacer dans l’équation
   \[ 121 - x^2 = 21 \]
3. Isoler \(x^2\)
   Soustraire 121 aux deux côtés :
   \[ -x^2 = 21 - 121 = -100 \]
   Multiplier par \(-1\) :
   \[ x^2 = 100 \]
4. Extraire la racine carrée
   \[ x = \sqrt{100} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{100} \] \[ x = 10 \quad \text{ou} \quad x = -10 \]

Solutions : \(x = 10\) ou \(x = -10\)

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4) \(8^3 - x^5 = 269\)

1. Calculer \(8^3\)
   \[ 8^3 = 512 \]
2. Remplacer dans l’équation
   \[ 512 - x^5 = 269 \]
3. Isoler \(x^5\)
   Soustraire 269 des deux côtés ou isoler \(x^5\) par soustraction :
   \[ -x^5 = 269 - 512 = -243 \]
   Multiplier par \(-1\) :
   \[ x^5 = 243 \]
4. Extraire la racine cinquième
   Sachant que \(3^5 = 243\) :
   \[ x = 3 \]

Solution : \(x = 3\)

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5) \((-5)^2 + x^5 = -218\)

1. Calculer \((-5)^2\)
   \[ (-5)^2 = 25 \]
2. Remplacer dans l’équation
   \[ 25 + x^5 = -218 \]
3. Isoler \(x^5\)
   Soustraire 25 des deux côtés :
   \[ x^5 = -218 - 25 = -243 \]
4. Extraire la racine cinquième
   Sachant que \((-3)^5 = -243\) :
   \[ x = -3 \]

Solution : \(x = -3\)

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6) \((x - 5)^3 = 64\)

1. Extraire la racine cubique des deux côtés
   La racine cubique de 64 est 4, car \(4^3 = 64\). Soit :
   \[ x - 5 = 4 \]
2. Isoler \(x\)
   Ajouter 5 aux deux côtés :
   \[ x = 4 + 5 = 9 \]

Solution : \(x = 9\)

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7) \((7 - x)^2 = 81\)

1. Poser l’équation
   Lorsque le carré d’une expression est égal à 81, cela signifie que l’expression peut être soit 9, soit \(-9\).
   \[ 7 - x = 9 \quad \text{ou} \quad 7 - x = -9 \]

2. Première équation \(7 - x = 9\)
   Soustraire 7 des deux côtés :
   \[ -x = 9 - 7 = 2 \]
   Multiplier par \(-1\) :
   \[ x = -2 \]

3. Deuxième équation \(7 - x = -9\)
   Soustraire 7 des deux côtés :
   \[ -x = -9 - 7 = -16 \]
   Multiplier par \(-1\) :
   \[ x = 16 \]

Solutions : \(x = -2\) ou \(x = 16\)

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8) \((-8 - x)^3 = -27\)

1. Extraire la racine cubique des deux côtés
   La racine cubique de \(-27\) est \(-3\), car \((-3)^3 = -27\).
   \[ -8 - x = -3 \]
2. Isoler \(x\)
   Ajouter 8 des deux côtés :
   \[ - x = -3 + 8 = 5 \]
   Multiplier par \(-1\) :
   \[ x = -5 \]

Solution : \(x = -5\)

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Ces étapes vous permettent de comprendre la résolution de chaque équation pas à pas.