Exercice 69

Exercice

Pour chacune des équations suivantes, déterminer le ou les nombres \(x\) tels que l’équation soit vérifiée :

  1. \[ (-3)^x - 2 = -29 \]

  2. \[ 4^x - 7 = 9 \]

  3. \[ (-5)^3 - (-3)^x = -98 \]

  4. \[ 7^2 - (-5)^x = 14 \]

  5. \[ (-5 + 8)^x = 81 \]

  6. \[ (9 - 11)^x = -32 \]

  7. \[ (-4 - 5)^x = -729 \]

  8. \[ (2 - (-7))^x = 81 \]

Réponse

Voici le bilan des solutions :

  1. x = 3
  2. x = 2
  3. x = 3
  4. Pas de solution
  5. x = 4
  6. x = 5
  7. x = 3
  8. x = 2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes pour chacune des équations :


1) \((-3)^x - 2 = -29\)

Étape 1 : Isoler la puissance

On commence par ajouter 2 de chaque côté de l’équation : \[ (-3)^x - 2 + 2 = -29 + 2 \quad \Longrightarrow \quad (-3)^x = -27. \]

Étape 2 : Identifier l’exposant

On cherche alors \(x\) tel que : \[ (-3)^x = -27. \] On reconnaît que : \[ (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27. \]

Conclusion :
La solution est \(\boxed{x=3}\).


2) \(4^x - 7 = 9\)

Étape 1 : Isoler la puissance

Ajouter 7 de chaque côté : \[ 4^x - 7 + 7 = 9 + 7 \quad \Longrightarrow \quad 4^x = 16. \]

Étape 2 : Exprimer 16 comme puissance de 4

On sait que : \[ 4^2 = 16. \] D’où : \[ 4^x = 4^2. \]

Conclusion :
Par égalité des puissances (pour une même base positive différente de 1), on a \(x=2\). Ainsi, \(\boxed{x=2}\).


3) \((-5)^3 - (-3)^x = -98\)

Étape 1 : Calculer la première puissance

Calculons : \[ (-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125. \] L’équation devient donc : \[ -125 - (-3)^x = -98. \]

Étape 2 : Isoler \((-3)^x\)

Ajouter \(125\) des deux côtés : \[ -(-3)^x = -98 + 125 \quad \Longrightarrow \quad -(-3)^x = 27. \] Multiplions ensuite par \(-1\) : \[ (-3)^x = -27. \]

Étape 3 : Identifier l’exposant

On remarque que : \[ (-3)^3 = -27. \]

Conclusion :
Donc, \(\boxed{x=3}\).


4) \(7^2 - (-5)^x = 14\)

Étape 1 : Calculer la première partie

Calculons : \[ 7^2 = 49. \] L’équation devient : \[ 49 - (-5)^x = 14. \]

Étape 2 : Isoler \((-5)^x\)

Soustrayons 49 de chaque côté : \[ - (-5)^x = 14 - 49 \quad \Longrightarrow \quad - (-5)^x = -35. \] En multipliant par \(-1\) : \[ (-5)^x = 35. \]

Étape 3 : Analyser la possibilité d’une solution

Les valeurs possibles de \((-5)^x\) dépendent de la parité de \(x\) (si \(x\) est entier) : - Si \(x\) est pair, alors \((-5)^x = 5^x\) et sera un nombre positif. - Si \(x\) est impair, alors \((-5)^x = -5^x\) et sera négatif.

Ici, \(35\) est positif, donc \(x\) devrait être pair.
Pour \(x=2\), on a \(5^2 = 25\) ce qui est différent de 35, et pour \(x=4\), \(5^4 = 625\) est bien trop grand.
On remarque également que 35 n’est pas une puissance de 5.

Conclusion :
Il n’existe pas de solution entière \(x\) répondant à l’équation.
Par conséquent, \(\boxed{\text{pas de solution}}\).


5) \((-5 + 8)^x = 81\)

Étape 1 : Simplifier la base

Calculons : \[ -5 + 8 = 3. \] L’équation se simplifie à : \[ 3^x = 81. \]

Étape 2 : Exprimer 81 comme puissance de 3

On sait que : \[ 3^4 = 81. \]

Conclusion :
Donc, \(x = 4\), c’est-à-dire \(\boxed{x=4}\).


6) \((9 - 11)^x = -32\)

Étape 1 : Simplifier la base

Calculons : \[ 9 - 11 = -2. \] L’équation devient : \[ (-2)^x = -32. \]

Étape 2 : Identifier l’exposant

Cherchons \(x\) tel que : \[ (-2)^x = -32. \] Pour \(x = 5\), on a : \[ (-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32. \]

Conclusion :
Ainsi, \(\boxed{x=5}\).


7) \((-4 - 5)^x = -729\)

Étape 1 : Simplifier la base

Calculons : \[ -4 - 5 = -9. \] L’équation devient : \[ (-9)^x = -729. \]

Étape 2 : Identifier l’exposant

On cherche un \(x\) tel que : \[ (-9)^x = -729. \] Pour \(x = 3\), on a : \[ (-9)^3 = (-9) \times (-9) \times (-9) = -729. \]

Conclusion :
Donc, \(\boxed{x=3}\).


8) \((2 - (-7))^x = 81\)

Étape 1 : Simplifier la base

Calculons : \[ 2 - (-7) = 2 + 7 = 9. \] L’équation devient : \[ 9^x = 81. \]

Étape 2 : Exprimer 81 comme puissance de 9

On remarque que : \[ 9^2 = 81. \]

Conclusion :
Ainsi, \(\boxed{x=2}\).


Récapitulatif des solutions
  1. \(x = 3\)
  2. \(x = 2\)
  3. \(x = 3\)
  4. Pas de solution
  5. \(x = 4\)
  6. \(x = 5\)
  7. \(x = 3\)
  8. \(x = 2\)

Cette démarche montre chaque étape afin de comprendre comment on parvient aux solutions des équations données.

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