Exercice 68

Exercice

Pour chaque équation ci-dessous, déterminer le ou les nombre(s) \(x\) qui la/vérifient, lorsque c’est possible :

\(x^{2} = 9\)
\(x^{2} = 81\)
\(x^{3} = -125\)
\(x^{2} = -16\)
\(x^{2} - 25 = 0\)
\(x^{2} - 16 = 0\)
\(x^{2} + 25 = 0\)
\(x^{3} + 27 = 0\)
\(x^{4} + 16 = 0\)

Réponse

Réponses : 1. x² = 9 : x = 3 ou x = -3. 2. x² = 81 : x = 9 ou x = -9. 3. x³ = -125 : x = -5. 4. x² = -16 : aucune solution réelle. 5. x² - 25 = 0 : x = 5 ou x = -5. 6. x² - 16 = 0 : x = 4 ou x = -4. 7. x² + 25 = 0 : aucune solution réelle. 8. x³ + 27 = 0 : x = -3. 9. x⁴ + 16 = 0 : aucune solution réelle.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des équations :

1. Équation : \(x^2 = 9\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On part de l’équation
\[ x^2 = 9. \]
Étape 2 : Pour trouver \(x\), on prend la racine carrée des deux côtés.
Sachant que \(\sqrt{9} = 3\) et que l’équation \(x^2 = 9\) a deux solutions (positives et négatives), on obtient
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3. \]

Solution :
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3. \]

2. Équation : \(x^2 = 81\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On part de
\[ x^2 = 81. \]
Étape 2 : La racine carrée de 81 est 9. On a donc
\[ x = 9 \quad \text{ou} \quad x = -9. \]

Solution :
\[ x = 9 \quad \text{ou} \quad x = -9. \]

3. Équation : \(x^3 = -125\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On écrit l’équation
\[ x^3 = -125. \]
Étape 2 : Pour trouver \(x\), on prend la racine cubique des deux côtés.
Comme \(\sqrt[3]{-125} = -5\) (puisque \((-5)^3 = -125\)), on obtient
\[ x = -5. \]

Solution :
\[ x = -5. \]

4. Équation : \(x^2 = -16\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : L’équation s’écrit
\[ x^2 = -16. \]
Étape 2 : Dans ℝ, un carré est toujours positif ou nul. Ainsi, il n’existe pas de nombre réel dont le carré soit négatif.

Solution :
Aucune solution réelle.
(Remarque : dans ℂ, on trouverait \(x = 4i\) et \(x = -4i\), mais ici nous considérons les solutions réelles.)

5. Équation : \(x^2 - 25 = 0\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On écrit l’équation
\[ x^2 - 25 = 0. \]
Étape 2 : On isole \(x^2\) en ajoutant 25 aux deux côtés :
\[ x^2 = 25. \]
Étape 3 : En prenant la racine carrée :
\[ x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -5. \]

Solution :
\[ x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -5. \]

6. Équation : \(x^2 - 16 = 0\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On part de
\[ x^2 - 16 = 0. \]
Étape 2 : En ajoutant 16 à chaque membre, on obtient
\[ x^2 = 16. \]
Étape 3 : En prenant la racine carrée, on a :
\[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4. \]

Solution :
\[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4. \]

7. Équation : \(x^2 + 25 = 0\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On écrit
\[ x^2 + 25 = 0. \]
Étape 2 : En isolant \(x^2\), on soustrait 25 de chaque côté :
\[ x^2 = -25. \]
Étape 3 : Comme un carré est toujours positif ou nul dans ℝ, il n’existe pas de solution réelle.

Solution :
Aucune solution réelle.
(Remarque : dans ℂ, \(x = 5i\) et \(x = -5i\).)

8. Équation : \(x^3 + 27 = 0\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On écrit l’équation
\[ x^3 + 27 = 0. \]
Étape 2 : On isole \(x^3\) en soustrayant 27 des deux côtés :
\[ x^3 = -27. \]
Étape 3 : La racine cubique de \(-27\) est \(-3\) car \((-3)^3 = -27\).
Ainsi,
\[ x = -3. \]

Solution :
\[ x = -3. \]

9. Équation : \(x^4 + 16 = 0\)

Étapes de résolution :

Étape 1 : On part de
\[ x^4 + 16 = 0. \]
Étape 2 : On isole \(x^4\) en soustrayant 16 des deux côtés :
\[ x^4 = -16. \]
Étape 3 : Dans ℝ, il n’existe pas de nombre dont la quatrième puissance soit négative, car \(x^4\) est toujours positif ou nul.

Solution :
Aucune solution réelle.
(Remarque : dans ℂ, on peut trouver les solutions en écrivant \(-16\) sous forme polaire. En effet, \(-16\) s’écrit \(16 (\cos \pi + i \sin \pi)\) et les solutions complexes sont données par
\[ x = 2\left(\cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right)\right) \quad \text{pour} \quad k = 0, 1, 2, 3. \] Ce qui conduit aux solutions :
\[ x = \sqrt{2} + i\sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}, \quad x = \sqrt{2} - i\sqrt{2}. \] Mais ici, nous nous limitons aux solutions réelles.)

Récapitulatif des solutions :

\(\boldsymbol{x^2 = 9}\) : \(x = 3\) ou \(x = -3\).
\(\boldsymbol{x^2 = 81}\) : \(x = 9\) ou \(x = -9\).
\(\boldsymbol{x^3 = -125}\) : \(x = -5\).
\(\boldsymbol{x^2 = -16}\) : Aucune solution réelle.
\(\boldsymbol{x^2 - 25 = 0}\) : \(x = 5\) ou \(x = -5\).
\(\boldsymbol{x^2 - 16 = 0}\) : \(x = 4\) ou \(x = -4\).
\(\boldsymbol{x^2 + 25 = 0}\) : Aucune solution réelle.
\(\boldsymbol{x^3 + 27 = 0}\) : \(x = -3\).
\(\boldsymbol{x^4 + 16 = 0}\) : Aucune solution réelle.

Chaque étape est expliquée afin de comprendre comment isoler la variable, prendre la racine carrée ou cubique, et pourquoi certaines équations n’admettent pas de solution dans l’ensemble des nombres réels.