Exercice 67

Exercice

Trouver la valeur de \(x\) dans chacun des cas suivants :

1. \(x^3 \cdot (+5)^2 = -25\)
2. \((-3)^3 \cdot x^3 = -216\)
3. \((-3)^3 \cdot x^2 = -108\)
4. \((-2)^5 \cdot (-3)^x = 96\)
5. \((-5)^4 \cdot (-4)^x = 625\)
6. \((-3)^x \cdot (-2)^2 = -108\)

Réponse

1. x = -1
   
2. x = 2
   
3. x = 2 ou x = -2
   
4. x = 1
   
5. x = 0
   
6. x = 3

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque partie de l’exercice :

---

1) \(x^3 \cdot (+5)^2 = -25\)

1. Calcul de \((+5)^2\)
   \[ (+5)^2 = 25 \]

2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient : \[ 25 \cdot x^3 = -25 \]

3. Isoler \(x^3\)
   Divisons des deux côtés par 25 : \[ x^3 = \frac{-25}{25} = -1 \]

4. Déterminer \(x\)
   Comme \((-1)^3 = -1\), on en déduit que : \[ x = -1 \]

---

2) \((-3)^3 \cdot x^3 = -216\)

1. Calcul de \((-3)^3\)
   \[ (-3)^3 = -27 \]

2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient : \[ -27 \cdot x^3 = -216 \]

3. Isoler \(x^3\)
   Divisons par \(-27\) : \[ x^3 = \frac{-216}{-27} = 8 \]

4. Déterminer \(x\)
   Puisque \(2^3 = 8\), on a : \[ x = 2 \]

---

3) \((-3)^3 \cdot x^2 = -108\)

1. Calcul de \((-3)^3\)
   \[ (-3)^3 = -27 \]

2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient : \[ -27 \cdot x^2 = -108 \]

3. Isoler \(x^2\)
   Divisons par \(-27\) : \[ x^2 = \frac{-108}{-27} = 4 \]

4. Déterminer \(x\)
   On sait que \(2^2 = 4\) et \((-2)^2 = 4\). Ainsi, les solutions sont : \[ x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2 \]

---

4) \((-2)^5 \cdot (-3)^x = 96\)

1. Calcul de \((-2)^5\)
   \[ (-2)^5 = -32 \]

2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient : \[ -32 \cdot (-3)^x = 96 \]

3. Isoler \((-3)^x\)
   Divisons par \(-32\) : \[ (-3)^x = \frac{96}{-32} = -3 \]

4. Déterminer \(x\)
   On reconnaît que : \[ -3 = (-3)^1 \] D’où : \[ x = 1 \]

---

5) \((-5)^4 \cdot (-4)^x = 625\)

1. Calcul de \((-5)^4\)
   \[ (-5)^4 = 625 \]

2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient : \[ 625 \cdot (-4)^x = 625 \]

3. Isoler \((-4)^x\)
   Divisons par 625 : \[ (-4)^x = \frac{625}{625} = 1 \]

4. Déterminer \(x\)
   Rappelons que pour tout nombre réel non nul, \(a^0 = 1\). Ainsi : \[ (-4)^0 = 1 \] On obtient donc : \[ x = 0 \]

---

6) \((-3)^x \cdot (-2)^2 = -108\)

1. Calcul de \((-2)^2\)
   \[ (-2)^2 = 4 \]

2. Remplacer dans l’équation
   L’équation devient : \[ (-3)^x \cdot 4 = -108 \]

3. Isoler \((-3)^x\)
   Divisons par 4 : \[ (-3)^x = \frac{-108}{4} = -27 \]

4. Déterminer \(x\)
   Comme \((-3)^3 = -27\), il s’en déduit que : \[ x = 3 \]

---

Récapitulatif des solutions

1. \(x = -1\)
2. \(x = 2\)
3. \(x = 2\) ou \(x = -2\)
4. \(x = 1\)
5. \(x = 0\)
6. \(x = 3\)

Ainsi, nous avons trouvé les valeurs de \(x\) pour chaque équation.