Exercice :
Trouver la valeur de \(x\) dans chacune des équations suivantes :
\[ (-2)^2 \cdot (-2) = x \]
\[ (-2)^3 \cdot x = 48 \]
\[ (-2)^2 \cdot x = -12 \]
\[ (-2)^x \cdot (+5) = 20 \]
\[ (-3)^x \cdot (-3)^2 = 81 \]
\[ (-3)^x \cdot (-1)^4 = -27 \]
\[ (-3)^x \cdot (+3) = -81 \]
\[ (-5)^x \cdot (-1)^7 = -25 \]
Voici le résumé en très court :
Voici la correction détaillée de chaque équation.
\[ (-2)^2 \cdot (-2) = x \]
Étape 1 : Calcul de \((-2)^2\).
\[
(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4
\]
Étape 2 : Multiplier le résultat par \(-2\).
\[
4 \cdot (-2) = -8
\]
Conclusion :
\[
x = -8
\]
\[ (-2)^3 \cdot x = 48 \]
Étape 1 : Calcul de \((-2)^3\).
\[
(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2)
\]
On sait que : - \((-2) \times (-2) =
4\) - \(4 \times (-2) = -8\)
Donc,
\[
(-2)^3 = -8
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation et résoudre pour \(x\).
\[
-8 \cdot x = 48
\]
Diviser par \(-8\) de chaque côté
:
\[
x = \frac{48}{-8} = -6
\]
Conclusion :
\[
x = -6
\]
\[ (-2)^2 \cdot x = -12 \]
Étape 1 : Calcul de \((-2)^2\).
\[
(-2)^2 = 4
\]
Étape 2 : Remplacer dans l’équation et résoudre pour \(x\).
\[
4 \cdot x = -12
\]
Diviser par 4 : \[
x = \frac{-12}{4} = -3
\]
Conclusion :
\[
x = -3
\]
\[ (-2)^x \cdot (+5) = 20 \]
Étape 1 : Isoler \((-2)^x\).
Divisons chaque côté par 5 :
\[
(-2)^x = \frac{20}{5} = 4
\]
Étape 2 : Trouver \(x\) tel
que \((-2)^x = 4\).
On sait que :
\[
(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4
\]
Donc
\[
x = 2
\]
Conclusion :
\[
x = 2
\]
\[ (-3)^x \cdot (-3)^2 = 81 \]
Étape 1 : Utiliser la propriété des exposants.
On a :
\[
(-3)^x \cdot (-3)^2 = (-3)^{x+2}
\]
Étape 2 : Réécrire l’équation.
\[
(-3)^{x+2} = 81
\]
Étape 3 : Exprimer 81 comme une puissance de 3 (en
considérant le signe).
On remarque que :
\[
(-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81
\]
(puisque le produit de deux nombres négatifs est positif et ici
l’exposant 4 est pair)
Étape 4 : Égaler les exposants.
\[
x + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 4 - 2 = 2
\]
Conclusion :
\[
x = 2
\]
\[ (-3)^x \cdot (-1)^4 = -27 \]
Étape 1 : Calcul de \((-1)^4\).
\[
(-1)^4 = 1
\]
Étape 2 : Réécrire l’équation.
\[
(-3)^x \cdot 1 = -27 \quad \Rightarrow \quad (-3)^x = -27
\]
Étape 3 : Trouver \(x\) tel
que \((-3)^x = -27\).
On sait que :
\[
(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27
\]
Conclusion :
\[
x = 3
\]
\[ (-3)^x \cdot (+3) = -81 \]
Étape 1 : Isoler \((-3)^x\).
Divisons chaque côté par 3 :
\[
(-3)^x = \frac{-81}{3} = -27
\]
Étape 2 : Trouver \(x\) tel
que \((-3)^x = -27\).
On sait que :
\[
(-3)^3 = -27
\]
Conclusion :
\[
x = 3
\]
\[ (-5)^x \cdot (-1)^7 = -25 \]
Étape 1 : Calcul de \((-1)^7\).
\[
(-1)^7 = -1
\]
Étape 2 : Réécrire l’équation.
\[
(-5)^x \cdot (-1) = -25
\]
Pour simplifier, multiplions par \(-1\)
de chaque côté :
\[
-(-5)^x = -25 \quad \Rightarrow \quad (-5)^x = 25
\]
Étape 3 : Trouver \(x\) tel
que \((-5)^x = 25\).
On remarque que :
\[
(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25
\]
Conclusion :
\[
x = 2
\]