Exercice 65

Calculer la valeur de \[ a^b + c^d \] pour les cas suivants :

1. \(\, a = 3, \, b = 3, \, c = -5, \, d = 2\).

2. \(\, a = 6, \, b = 0, \, c = -5, \, d = 2\).

3. \(\, a = -1, \, b = 17, \, c = -1, \, d = 3\).

Réponse

Réponses : 1) 52
2) 26
3) -2

Corrigé détaillé

Nous allons calculer l’expression \[ a^b + c^d \] pour chacun des cas. Suivons une méthode détaillée étape par étape.

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1) Cas où \(a = 3, \, b = 3, \, c = -5, \, d = 2\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)
Ici, nous avons : \[ 3^3 = 3 \times 3 \times 3. \] Calculons : - \(3 \times 3 = 9\) - \(9 \times 3 = 27\)

Donc, \(a^b = 27\).

Étape 2 : Calcul de \(c^d\)
Ici, nous avons : \[ (-5)^2 = (-5) \times (-5). \] Notez qu’un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un résultat positif : - \((-5) \times (-5) = 25\)

Donc, \(c^d = 25\).

Étape 3 : Addition des deux résultats
Additionnons les résultats obtenus : \[ 27 + 25 = 52. \]

Le résultat pour ce cas est donc \(\boxed{52}\).

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2) Cas où \(a = 6, \, b = 0, \, c = -5, \, d = 2\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)
Nous utilisons la propriété des exposants pour un exposant nul : \[ 6^0 = 1. \] Peu importe la valeur de \(a\) (différente de zéro), \(a^0\) est toujours égal à 1.

Donc, \(a^b = 1\).

Étape 2 : Calcul de \(c^d\)
Nous avons déjà vu cet élément précédemment : \[ (-5)^2 = 25. \]

Donc, \(c^d = 25\).

Étape 3 : Addition des deux résultats
Additionnons les deux valeurs : \[ 1 + 25 = 26. \]

Le résultat pour ce cas est donc \(\boxed{26}\).

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3) Cas où \(a = -1, \, b = 17, \, c = -1, \, d = 3\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)
Ici, nous avons : \[ (-1)^{17}. \] Lorsque la base est \(-1\) et l’exposant est impair, le résultat est \(-1\) : \[ (-1)^{17} = -1. \]

Donc, \(a^b = -1\).

Étape 2 : Calcul de \(c^d\)
De manière similaire : \[ (-1)^{3} = -1, \] puisque 3 est un exposant impair.

Donc, \(c^d = -1\).

Étape 3 : Addition des deux résultats
Additionnons : \[ -1 + (-1) = -2. \]

Le résultat pour ce cas est donc \(\boxed{-2}\).

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Résumé des résultats

1. Pour \(a = 3, \, b = 3, \, c = -5, \, d = 2\) : \(a^b + c^d = 52\).
   
2. Pour \(a = 6, \, b = 0, \, c = -5, \, d = 2\) : \(a^b + c^d = 26\).
   
3. Pour \(a = -1, \, b = 17, \, c = -1, \, d = 3\) : \(a^b + c^d = -2\).

Chaque calcul a été effectué étape par étape en suivant les propriétés des exposants et les règles de calcul pour les nombres négatifs.