Exercice 64

Calculer la valeur de \[ a^b + a \] dans les cas suivants :

1. \(a = -3\) et \(b = 3\)
2. \(a = -1\) et \(b = 7\)
3. \(a = -7\) et \(b = 2\)
4. \(a = -2\) et \(b = 5\)
5. \(a = +2\) et \(b = 5\)
6. \(a = -1\) et \(b = 3\)

Réponse

Résultats : 1. Pour a = -3 et b = 3 : -30 2. Pour a = -1 et b = 7 : -2 3. Pour a = -7 et b = 2 : 42 4. Pour a = -2 et b = 5 : -34 5. Pour a = 2 et b = 5 : 34 6. Pour a = -1 et b = 3 : -2

Corrigé détaillé

Nous allons calculer l’expression
\[ a^b + a \] pour chaque paire de valeurs données. Pour cela, nous procédons en deux étapes :

1. Calculer \(a^b\) en utilisant la bonne règle de multiplication pour une puissance.
2. Ajouter \(a\) au résultat obtenu.

Voyons chaque cas en détail.

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Cas 1 : \(a = -3\) et \(b = 3\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)

Nous avons
\[ (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3). \] Calculons successivement : - \((-3) \times (-3) = 9\) (le produit de deux nombres négatifs est positif), - \(9 \times (-3) = -27\).

Ainsi,
\[ (-3)^3 = -27. \]

Étape 2 : Ajouter \(a\) \[ a^b + a = -27 + (-3) = -27 - 3 = -30. \]

Résultat pour le cas 1 :
\[ -30. \]

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Cas 2 : \(a = -1\) et \(b = 7\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)

Ici,
\[ (-1)^7. \] Puisque l’exposant 7 est impair, le résultat conserve le signe négatif :
\[ (-1)^7 = -1. \]

Étape 2 : Ajouter \(a\) \[ a^b + a = -1 + (-1) = -1 - 1 = -2. \]

Résultat pour le cas 2 :
\[ -2. \]

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Cas 3 : \(a = -7\) et \(b = 2\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)

Calculons
\[ (-7)^2 = (-7) \times (-7). \] Le produit de deux nombres négatifs est positif :
\[ (-7)^2 = 49. \]

Étape 2 : Ajouter \(a\) \[ a^b + a = 49 + (-7) = 49 - 7 = 42. \]

Résultat pour le cas 3 :
\[ 42. \]

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Cas 4 : \(a = -2\) et \(b = 5\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)

Ici,
\[ (-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2). \] Calculons par étapes : - \((-2) \times (-2) = 4\), - \(4 \times (-2) = -8\), - \(-8 \times (-2) = 16\), - \(16 \times (-2) = -32\).

Donc,
\[ (-2)^5 = -32. \]

Étape 2 : Ajouter \(a\) \[ a^b + a = -32 + (-2) = -32 - 2 = -34. \]

Résultat pour le cas 4 :
\[ -34. \]

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Cas 5 : \(a = 2\) et \(b = 5\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)

Nous avons
\[ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2. \] Calculons : - \(2 \times 2 = 4\), - \(4 \times 2 = 8\), - \(8 \times 2 = 16\), - \(16 \times 2 = 32\).

Donc,
\[ 2^5 = 32. \]

Étape 2 : Ajouter \(a\) \[ a^b + a = 32 + 2 = 34. \]

Résultat pour le cas 5 :
\[ 34. \]

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Cas 6 : \(a = -1\) et \(b = 3\)

Étape 1 : Calcul de \(a^b\)

Ici,
\[ (-1)^3. \] Puisque l’exposant 3 est impair, nous obtenons :
\[ (-1)^3 = -1. \]

Étape 2 : Ajouter \(a\) \[ a^b + a = -1 + (-1) = -1 - 1 = -2. \]

Résultat pour le cas 6 :
\[ -2. \]

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Récapitulatif des résultats

1. Pour \(a = -3\) et \(b = 3\) : \(-30\).
2. Pour \(a = -1\) et \(b = 7\) : \(-2\).
3. Pour \(a = -7\) et \(b = 2\) : \(42\).
4. Pour \(a = -2\) et \(b = 5\) : \(-34\).
5. Pour \(a = 2\) et \(b = 5\) : \(34\).
6. Pour \(a = -1\) et \(b = 3\) : \(-2\).

Chaque étape a été détaillée pour vous aider à comprendre comment calculer l’expression \(a^b + a\) pour différentes valeurs de \(a\) et \(b\).