Exercice 63

Exercice

Calculer la valeur de \(a^{b}\) dans les cas suivants :

1. \(a = -3\) et \(b = 4\)
2. \(a = -5\) et \(b = 2\)
3. \(a = -2\) et \(b = 6\)
4. \(a = 0\) et \(b = 7\)
5. \(a = -1\) et \(b = 0\)
6. \(a = 4\) et \(b = 3\)

Réponse

Voici le résumé en une réponse très courte :

(-3)^4 = 81, (-5)^2 = 25, (-2)^6 = 64, 0^7 = 0, (-1)^0 = 1, 4^3 = 64.

Corrigé détaillé

Voici un détail complet de la correction pour chaque cas :

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Cas 1 : \(a = -3\) et \(b = 4\)

Nous devons calculer \((-3)^4\).
Étape 1 : Rappelons que lorsqu’une base négative est élevée à une puissance paire, le résultat est positif.
Étape 2 : Effectuons la multiplication :
\[ (-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \]
Étape 3 : Regroupons et multiplions deux à deux :
\[ (-3) \times (-3) = 9 \quad \text{et} \quad (-3) \times (-3) = 9 \]
Étape 4 : Puis multiplions les résultats :
\[ 9 \times 9 = 81 \]
Conclusion :
\[ (-3)^4 = 81 \]

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Cas 2 : \(a = -5\) et \(b = 2\)

Nous calculons \((-5)^2\).
Étape 1 : Puisque l’exposant 2 est pair, le résultat sera positif.
Étape 2 : Effectuons la multiplication :
\[ (-5)^2 = (-5) \times (-5) \]
Étape 3 : Le produit de deux nombres négatifs est positif :
\[ (-5) \times (-5) = 25 \]
Conclusion :
\[ (-5)^2 = 25 \]

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Cas 3 : \(a = -2\) et \(b = 6\)

Nous devons calculer \((-2)^6\).
Étape 1 : L’exposant 6 est pair, alors le résultat sera positif.
Étape 2 : Effectuons la multiplication en plusieurs étapes :
\[ (-2)^6 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \]
Étape 3 : On peut regrouper par paires :
\[ (-2) \times (-2) = 4 \quad \text{(chaque paire)} \]
On a trois paires, donc :
\[ 4 \times 4 \times 4 = 64 \]
Conclusion :
\[ (-2)^6 = 64 \]

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Cas 4 : \(a = 0\) et \(b = 7\)

Nous devons calculer \(0^7\).
Étape 1 : Pour tout nombre positif \(b\), \(0^b = 0\) car la multiplication par zéro conduit toujours à zéro.
Conclusion :
\[ 0^7 = 0 \]

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Cas 5 : \(a = -1\) et \(b = 0\)

Nous devons calculer \((-1)^0\).
Étape 1 : Quelle que soit la base (différente de zéro), élevée à la puissance zéro, le résultat est 1.
Conclusion :
\[ (-1)^0 = 1 \]

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Cas 6 : \(a = 4\) et \(b = 3\)

Nous devons calculer \(4^3\).
Étape 1 : Effectuons la multiplication :
\[ 4^3 = 4 \times 4 \times 4 \]
Étape 2 : Calculons pas à pas :
\[ 4 \times 4 = 16 \quad \text{puis} \quad 16 \times 4 = 64 \]
Conclusion :
\[ 4^3 = 64 \]

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Récapitulatif des résultats :

1. Pour \(a = -3\) et \(b = 4\) : \(\boxed{81}\)
   
2. Pour \(a = -5\) et \(b = 2\) : \(\boxed{25}\)
   
3. Pour \(a = -2\) et \(b = 6\) : \(\boxed{64}\)
   
4. Pour \(a = 0\) et \(b = 7\) : \(\boxed{0}\)
   
5. Pour \(a = -1\) et \(b = 0\) : \(\boxed{1}\)
   
6. Pour \(a = 4\) et \(b = 3\) : \(\boxed{64}\)

Cette démarche détaillée permet de comprendre comment manipuler les puissances, notamment en distinguant les cas particuliers selon que l’exposant est pair, impair ou nul.