Exercice
Calculer les expressions suivantes :
\((-1)^{5} - (-2)^{4} + (-3)^{3} + (+4)^{2} - (-5)\).
\((-3)^{3} + (-2) \cdot \left[ (-1)^{5} + (+3) \right] - (-2)^{3} \cdot (-2)\).
\((+4)^{2} \cdot (-1)^{2} + (-2)^{3} \cdot (+3)\).
\((+4)^{2} \cdot \left[ (-1)^{2} + (-2)^{3} \right] \cdot (+3)\).
\(-(-1)^{3} \cdot (+2)^{2} + (+1)^{2} \cdot (+11)^{2}\).
\((-1)^{5} \cdot (+2)^{3} \cdot (-3)^{2} - (-3)^{3} + (-1) \cdot (+4)^{2}\).
\((-3)^{2} \cdot (+2) - (-6)^{2} - (-1)^{7} \cdot (+2) + (-3)^{2}\).
Réponses :
1) –23
2) –15
3) –8
4) –336
5) 125
6) –61
7) –7
Voici la correction détaillée de chaque expression.
\[ (-1)^{5} - (-2)^{4} + (-3)^{3} + (+4)^{2} - (-5). \]
Étape 1 : Calculer chaque terme
- \((-1)^5\) : Comme l’exposant est
impair, le résultat garde le signe négatif
\[
(-1)^5 = -1.
\] - \((-2)^4\) : Un nombre
négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif
\[
(-2)^4 = 16.
\] - \((-3)^3\) : L’exposant
est impair, donc
\[
(-3)^3 = -27.
\] - \((+4)^2\) :
\[
(+4)^2 = 16.
\] - \(-(-5)\) : Changer le
signe de \(-5\) donne
\[
-(-5)=+5.
\]
Étape 2 : Remplacer et calculer
L’expression devient :
\[
-1 - 16 - 27 + 16 + 5.
\] Additionnons étape par étape :
- \(-1 - 16 = -17\)
- \(-17 - 27 = -44\)
- \(-44 + 16 = -28\)
- \(-28 + 5 = -23\)
Réponse 1 : \(-23\)
\[ (-3)^{3} + (-2) \cdot \left[ (-1)^{5} + (+3) \right] - (-2)^{3} \cdot (-2). \]
Étape 1 : Calculer chaque partie
- \((-3)^3 = -27\) car \(3\) est impair.
- À l’intérieur des crochets :
\[
(-1)^5 = -1 \quad \text{donc} \quad -1 + 3 = 2.
\] - Ainsi, le deuxième terme :
\[
(-2) \cdot 2 = -4.
\] - Pour le troisième terme, calculons \((-2)^3\) :
\[
(-2)^3 = -8.
\] Puis, \[
-8 \cdot (-2) = 16.
\]
Étape 2 : Regrouper les résultats
L’expression devient :
\[
-27 - 4 + 16.
\] Additionnons : - \(-27 - 4 =
-31\)
- \(-31 + 16 = -15\)
Réponse 2 : \(-15\)
\[ (+4)^{2} \cdot (-1)^{2} + (-2)^{3} \cdot (+3). \]
Étape 1 : Calcul des puissances
- \((+4)^2 = 16\).
- \((-1)^2 = 1\) (car la puissance est
paire).
Ainsi, le premier terme devient :
\[
16 \cdot 1 = 16.
\] - \((-2)^3 = -8\) (la
puissance impaire garde le signe négatif).
Le deuxième terme :
\[
-8 \cdot 3 = -24.
\]
Étape 2 : Addition
\[
16 + (-24) = 16 - 24 = -8.
\]
Réponse 3 : \(-8\)
\[ (+4)^{2} \cdot \left[ (-1)^{2} + (-2)^{3} \right] \cdot (+3). \]
Étape 1 : Calculer les parties
- \((+4)^2 = 16\).
- Dans les crochets :
- \((-1)^2 = 1\).
- \((-2)^3 = -8\).
Donc, \[
1 + (-8) = -7.
\] - Le produit de \(16\) et
\(-7\) :
\[
16 \cdot (-7) = -112.
\] - Puis multiplication par \(+3\) :
\[
-112 \cdot 3 = -336.
\]
Réponse 4 : \(-336\)
\[ -(-1)^{3} \cdot (+2)^{2} + (+1)^{2} \cdot (+11)^{2}. \]
Étape 1 : Calculer chaque composant
- \((-1)^3 = -1\). Le signe devant
change le résultat : \[
-(-1) = 1.
\] - \((+2)^2 = 4\).
Le premier terme devient :
\[
1 \cdot 4 = 4.
\] - \((+1)^2 = 1\) et \((+11)^2 = 121\).
Le deuxième terme : \[
1 \cdot 121 = 121.
\]
Étape 2 : Addition
\[
4 + 121 = 125.
\]
Réponse 5 : \(125\)
\[ (-1)^{5} \cdot (+2)^{3} \cdot (-3)^{2} - (-3)^{3} + (-1) \cdot (+4)^{2}. \]
Étape 1 : Calcul des puissances et produits
- \((-1)^5 = -1\).
- \((+2)^3 = 8\).
- \((-3)^2 = 9\).
Donc, le premier terme est : \[
-1 \cdot 8 \cdot 9 = -72.
\] - \((-3)^3 = -27\). Le
deuxième terme est donc : \[
-(-27) = +27.
\] - \((+4)^2 = 16\) et le
troisième terme avec \(-1\) donne :
\[
-1 \cdot 16 = -16.
\]
Étape 2 : Regrouper les résultats
\[
-72 + 27 - 16.
\] Calculons : - \(-72 + 27 =
-45\)
- \(-45 - 16 = -61\)
Réponse 6 : \(-61\)
\[ (-3)^{2} \cdot (+2) - (-6)^{2} - (-1)^{7} \cdot (+2) + (-3)^{2}. \]
Étape 1 : Calculer les puissances et produits -
\((-3)^2 = 9\).
Premier terme : \[
9 \cdot 2 = 18.
\] - \((-6)^2 = 36\). Le
deuxième terme est donc :
\[
-36.
\] - \((-1)^7 = -1\) (puisque
l’exposant 7 est impair).
Troisième terme : \[
-1 \cdot 2 = -2.
\] Avec le signe moins devant, cela donne : \[
-(-2) = +2.
\] - Le quatrième terme :
\[
(-3)^2 = 9.
\]
Étape 2 : Additionner tous les termes
\[
18 - 36 + 2 + 9.
\] Effectuons l’addition étape par étape : - \(18 - 36 = -18\)
- \(-18 + 2 = -16\)
- \(-16 + 9 = -7\)
Réponse 7 : \(-7\)
Chaque étape a été décomposée pour faciliter la compréhension. N’hésitez pas à relire chacune des phases si vous avez des questions sur le passage d’une étape à l’autre.